در هر کدام از شرایط زیر، دومین و سومین جملۀ دنبالۀ حسابی را بیابید:

1. اولین جمله \(6\) و چهارمین جمله \(33\) باشد.
   
2. اولین جمله \(8\) و چهارمین جمله \(41\) باشد.
   
3. اولین جمله \(42\) و چهارمین جمله \(27\) باشد.
   

پاسخ

در این تمرین جملات اول و چهارم یک دنباله را داریم. در واقع \(t_1\) ما معلوم است، اما \(d\) و \(t_n\) مجهول هستند. استراتژی ما برای حل این مسأله اینست که ابتدا با استفاده از مقدار معلوم \(t_4\) و \(t_1\) اقدام به یافتن \(d\) می کنیم و سپس جملۀ عمومی دنباله را می سازیم. با داشتن جملۀ عمومی دنباله به راحتی می توانیم هر کدام از جملات دیگر را که بخواهیم را تعیین کنیم.

1. $$
   t_1=6\\
   t_4=33\\
   \text{ }\\[2ex]
   t_n=t_1+(n-1)d\\
   t_4=6+(4-1)d\\
   33=6+3d\\
   33-6=3d\\
   27=3d\\
   \frac{27}{3}=d\\
   9=d\\
   \text{ }\\[2ex]
   t_n=t_1+(n-1)d\\
   t_n=6+(n-1)9\\
   t_n=6+9n-9\\
   t_n=9n-3\\
   \text{ }\\[2ex]
   t_2=9(2)-3=18-3=15\\
   t_3=9(3)-3=27-3=24
   $$
   
2. $$
   t_1=8\\
   t_4=41\\
   \text{ }\\[2ex]
   t_n=t_1+(n-1)d\\
   t_4=8+(4-1)d\\
   41=8+3d\\
   41-8=3d\\
   33=3d\\
   \frac{33}{3}=d\\
   11=d\\
   \text{ }\\[2ex]
   t_n=t_1+(n-1)d\\
   t_n=8+(n-1)11\\
   t_n=8+11n-11\\
   t_n=11n-3\\
   \text{ }\\[2ex]
   t_2=11(2)-3=22-3=19\\
   t_3=11(3)-3=33-3=30
   $$
   
3. $$
   t_1=42\\
   t_4=27\\
   \text{ }\\[2ex]
   t_n=t_1+(n-1)d\\
   t_4=42+(4-1)d\\
   27=42+3d\\
   27-42=3d\\
   -15=3d\\
   \frac{-15}{3}=d\\
   -5=d\\
   \text{ }\\[2ex]
   t_n=t_1+(n-1)d\\
   t_n=42+(n-1)(-5)\\
   t_n=42-5n+5\\
   t_n=-5n+47\\
   \text{ }\\[2ex]
   t_2=-5(2)+47=-10+47=37\\
   t_3=-5(3)+47=-15+47=32
   $$