نویسنده : امیر انصاری

1. $$
   \text{___}, \text{___}, \text{___}, 19, 23
   $$
   
2. $$
   \text{___}, \text{___}, 3, \frac{3}{2}
   $$
   
3. $$
   \text{___}, 4, \text{___}, \text{___}, 10
   $$
   

پاسخ

1. این تمرین را می توانیم با دو استراتژی مختلف حل کنیم.
   
   

   روش اول: استفاده از استدلال منطقی

   
   در اینجا جملۀ چهارم و جملۀ پنجم از دنباله را داریم. ضمن اینکه خود تمرین اشاره دارد این دنباله حسابی است، از آنجا که ما دو جملۀ متوالی را داریم می توانیم با تفریق آنها به قدر نسبت \((d)\) برسیم:
   $$
   d = t_5 - t_4 \\
   d = 23 - 19 \\
   d = 4
   $$
   حالا یکی از مجهول ها یعنی \(d\) را داریم، مجهول بعدی ما \(t_1\) است. برای بدست آوردن آن از فرمول عمومی دنبالۀ حسابی و یکی از دو مقدار معلوم \(t_4\) یا \(t_5\) استفاده می کنیم:
   $$
   t_n = t_1 + (n-1)d \\
   t_4 = t_1+(4-1)d\\
   19 = t_1 + (3)(4) \\
   19 = t_1 + 12 \\
   19 - 12 = t_1\\
   7 = t_1
   $$
   حالا هم \(d\) و هم \(t_1\) را داریم، برای پر کردن جاهای خالی در دنباله می توانیم به جملۀ عمومی دنباله برسیم و از روی آن به راحتی هر جملۀ خاصی را که بخواهیم مشخص سازیم:
   $$
   t_n=t_1+(n-1)d\\
   t_n=7+(n-1)4\\
   t_n=7+4n-4\\
   t_n=4n+3\\
   \text{ } \\
   t_1 = 4(1)+3=4+3=7\\
   t_2=4(2)+3=8+3=11\\
   t_3=4(3)+3=12+3=15
   $$
   
   

   روش دوم: استفاده از جبر و دستگاه معادلات خطی

   
   در اینجا فرض می گیریم که هم \(d\) و \(t_1\) را نمی توانیم بدست آوریم، مانند تمرین \(\text{c}\) در همینجا که دو جملۀ داده شده به ما متوالی نمی باشند. با این روش صرفاً با دانستن دو جمله از یک دنباله (در هر جای دنباله که باشند و هر میزان فاصله که بین آنها باشد) می توانیم مقادیر \(d\)، \(t_1\)، و \(t_n\) را بدست آوریم.
   ابتدا با استفاده از فرمول عمومی دنباله های حسابی و دانستن اینکه \(t_4=19\) و \(t_5=23\) است، برای مقادیر \(t_4\) و \(t_5\) جملۀ عمومی می سازیم و از روی آنها یک دستگاه معادلات خطی دو مجهولی ایجاد می کنیم:
   $$
   t_n=t_1+(n-1)d \\
   \text{ }\\
   t_4=t_1+(4-1)d\\
   19=t_1+3d\\
   \text{ }\\
   t_5=t_1+(5-1)d\\
   23=t_1+4d\\
   \text{ }\\
   \begin{cases}
   19=t_1+3d \\[2ex]
   23=t_1+4d\\[2ex]
   \end{cases}
   $$
   حالا کافیست این دستگاه معادلات خطی را حل کنیم تا مقادیر \(d\) و \(t_1\) را از روی آن بدست آوریم. اگر دستگاه معادلات خطی یادتان رفته است، اینجا کلیک کنید.
   ما برای حل این دستگاه خطی از روش حذف (elimination) استفاده می کنیم. ضمن اینکه می توانید در صورت تمایل از سایر روش های حل کردن دستگاه معادلات خطی همچون روش جایگذاری (substitution) و یا حتی روش قانون کرامر (Cramer’s Rule) نیز استفاده کنید.
   طبق روش حذف طوری این دو معادله یا یکی از آنها را تغییر می دهیم که حاصل جمع یا حاصل تفریق آنها منجر به حذف شدن یکی از متغیرها گردد:
   $$
   \begin{array}{c}
   19 = t_1 + 3d \\[2ex]
   -23 = -t_1 - 4d \\[2ex]
   \hline
   -4 = 0 -d \\
   -4 = -d\\
   4=d
   \end{array}
   $$
   حالا که مقدار \(d\) را داریم آن را در یکی از این دو معادله جایگذاری می کنیم تا مقدار \(t_1\) را بدست آوریم:
   $$
   19 = t_1 + 3d \\
   19 = t_1 + 3(4)\\
   19 = t_1 + 12\\
   19 - 12 =t_1\\
   7=t_1
   $$
   از اینجا به بعد این راه حل با راه حل اول تفاوتی ندارد. ما هم اکنون مقادیر \(d\) و \(t_1\) را داریم، از روی آنها می توانیم به جملۀ عمومی دنباله برسیم و بعد از آن دیگر واضح است.
   
   
2. این تمرین را نیز همانند بخش \(a\) می توانیم با دو استراتژی مختلف حل کنیم. اما تعمداً فقط از روش دستگاه معادلات خطی استفاده می کنیم (از آنجا که در بخش \(a\) توضیحات کلی را ارائه دادیم و این دو مشابه اند، دیگر به تکرار جزئیات راه حل نمی پردازیم):
   $$
   t_n=t_1+(n-1)d \\
   \text{ }\\
   t_3=t_1+(3-1)d\\
   3=t_1+2d\\
   \text{ }\\
   t_4=t_1+(4-1)d\\
   \frac{3}{2}=t_1+3d\\
   \text{ }\\
   \begin{cases}
   3=t_1+2d\\[2ex]
   \frac{3}{2}=t_1+3d\\[2ex]
   \end{cases}
   $$
   $$
   \begin{array}{c}
   3 = t_1 + 2d \\[2ex]
   -\frac{3}{2} = -t_1 - 3d \\[2ex]
   \hline
   \frac{3}{2} = 0 -d \\
   \frac{3}{2} = -d\\
   -\frac{3}{2}=d
   \end{array}
   $$
   $$
   3=t_1+2d\\
   3=t_1+2(-\frac{3}{2})\\
   3=t_1-3\\
   3+3=t_1\\
   6=t_1
   $$
   $$
   t_n=t_1+(n-1)d \\
   t_n=6+(n-1)(-\frac{3}{2})\\
   t_n=6-\frac{3}{2}n+\frac{3}{2}\\
   t_n=-\frac{3}{2}n+\frac{15}{2}\\
   \text{ }\\
   t_2=-\frac{3}{2}(2) + \frac{15}{2}\\
   t_2 = -3+\frac{15}{2}=\frac{-6}{2}+\frac{15}{2}=\frac{9}{2}
   $$
   
3. با توجه به اینکه دو جملۀ معلوم این مسأله متوالی نمی باشند، برای حل این مسأله از روش دستگاه معادلات خطی استفاده می کنیم. البته یک ترفند منطقی نیز می توانیم بزنیم و آن اینکه، از آنجا که می دانیم جملۀ دوم \(4\) و جملۀ پنجم \(10\) هستند، تفاضل این دو که \(6\) می شود را بر سه (فاصلۀ میان موقعیت این دو جمله در دنباله) تقسیم می کنیم تا عدد \(2\) به عنوان \(d\) بدست آید.
   $$
   t_n=t_1+(n-1)d \\
   \text{ }\\
   t_2=t_1+(2-1)d\\
   4=t_1+d\\
   \text{ }\\
   t_5=t_1+(5-1)d\\
   10=t_1+4d\\
   \text{ }\\
   \begin{cases}
   4=t_1+d\\[2ex]
   10=t_1+4d\\[2ex]
   \end{cases}
   $$
   $$
   \begin{array}{c}
   4 = t_1 + d \\[2ex]
   -10 = -t_1-4d \\[2ex]
   \hline
   -6 = 0 -3d \\
   -6 = -3d\\
   \frac{-6}{-3}=d\\
   2=d
   \end{array}
   $$
   $$
   4 = t_1 + d\\
   4=t_1+2\\
   4-2=t_1\\
   2=t_1
   $$
   $$
   t_n=t_1+(n-1)d\\
   t_n=2+(n-1)2\\
   t_n=2+2n-2\\
   t_n=2n\\
   \text{ }\\
   t_1=2(1)=2\\
   t_3=2(3)=6\\
   t_4=2(4)=8
   $$