پانزدهمین جملۀ یک دنبالۀ حسابی برابر با \(43\) و مجموع \(15\) جملۀ اول این سری برابر با \(120\) می باشد. سه جملۀ اول این سری را تعیین کنید.

پاسخ

در اینجا ما جملۀ پانزدهم و همینطور جمع پانزده جملۀ اول سری را داریم. می توانیم با محاسبات زیر جمع چهارده جملۀ اول را نیز به سادگی بدست آوریم:
$$
S_{15} = 120\\
t_{15}= 43\\
S_{14} = S_{15} - t_{15} = 120 - 43 = 77
$$
هم اکنون با در اختیار داشتن \(S_{15}\) و همینطور \(S_{14}\) می توانیم با یک دستگاه معادلات خطی دو مجهولی، به دو مقدار \(d\) و \(t_1\) برسیم:
$$
S_n = \frac{n}{2} \biggl[ 2t_1+(n-1)d \biggr]\\
\text{ }\\[2ex]
S_{15}=\frac{15}{2} \biggl[ 2t_1 + (15-1)d \biggr]\\
120 = \frac{15}{2} (2t_1 + 14d)\\
120 = 15t_1 + 105d \\
\frac{120}{15} = \frac{15t_1}{15} + \frac{105d}{15}\\
8 = t_1 + 7d\\
\text{ }\\[2ex]
S_{14} = \frac{14}{2} \biggl[ 2t_1+(14-1)d \biggr]\\
77 = 7 (2t_1+13d)\\
\frac{77}{7} = \frac{7 (2t_1+13d)}{7}\\
11 = 2t_1 + 13d\\
\text{ }\\[2ex]
\begin{cases}
8 = t_1 + 7d\\[2ex]
11 = 2t_1 + 13d\\[2ex]
\end{cases}
$$
$$
\begin{array}{c}
-16 = -2t_1 -14d\\[2ex]
11 = 2t_1 + 13d\\[2ex]
\hline
-5 = -1d\\
5 = d
\end{array}
$$
$$
8=t_1 + 7d\\
8 = t_1 + 7(5)\\
8 - 35 = t_1\\
-27 = t_1
$$
حالا با داشتن مقادیر جملۀ اول، \(t_1=-27\)، و قدر نسبت، \(d=5\)، به سادگی می توانیم سه جملۀ اول این سری را بنویسیم:
$$
(-27)+(-22)+(-17)
$$