تعدادی حلقۀ بهم پیوسته که هر کدام \(1 \text{ cm}\) ضخامت دارند از یک گیره آویزان هستند. قطر بیرونی (outside diameter) حلقۀ بالایی برابر با \(20 \text{ cm}\) می باشد. قطر بیرونی هر کدام از سایر حلقه ها نسبت به حلقۀ بالایی اش \(1 \text{ cm}\) کمتر می باشد. قطر بیرونی پایین ترین حلقه برابر با \(3 \text{ cm}\) می باشد. فاصلۀ بین بالای اولین حلقه تا پایین آخرین حلقه چقدر می باشد؟

پاسخ

با استفاده از قطر بیرونی این حلقه ها دنباله ای به شکل زیر ساخته می شود:
$$
20,19,18,...,3
$$
در این دنباله \(t_1=20\) و \(d=-1\) می باشد، برای بدست آوردن جمع این سری نیاز داریم تا بدانیم \(3\) چندمین جمله است، در واقع مجهول ما در این مرحله \(n\) می باشد.
$$
t_n=t_1+(n-1)d\\
3=20+(n-1)(-1)\\
3=20-n+1\\
3=-n+21\\
3-21=-n\\
-18=-n\\
18=n
$$
حالا می دانیم که باید \(S_{18}\) را بدست آوریم:
$$
S_n=\frac{n}{2} (t_1+t_n)\\
S_{18}=\frac{18}{2} (20+3)\\
S_{18}=9(23)\\
S_{18}=207
$$
ظاهراً به پاسخ نهایی رسیده ایم، اما صبر کنید، اگر \(207\) را به عنوان پاسخ نهایی اعلام کنیم بخشی از داده های مسأله را نادیده گرفته ایم. مسأله می گوید این حلقه ها به هم پیوسته هستند و هر کدام \(1 \text{ cm}\) ضخامت دارند. هنگامی که مشابه تصویر بالا دو حلقه را درون هم می اندازیم به اندازۀ قطر دو حلقه یعنی \(2 \text{ cm}\) از مجموع قطر بیرونیِ حلقۀ پایینی کاسته می شود. در اینجا ما \(18\) حلقه داریم و به استثناء حلقۀ اول که از چیزی آویزان نیست در سایر حلقه ها هر کدام \(2 \text{ cm}\) بابت اتصال حلقه ها از قطر بیرونی شان کاسته شده است. در واقع اگر بخواهیم دستی و بدون فرمول این فاصله ها را جمع بزنیم، باید اینگونه عمل کنیم:
$$
20 + (19-2) + (18-2) + (17-2) + \text{...} + (3-2)
$$

محاسبات زیر پاسخ نهایی را به ما می دهد:
$$
17 \cdot 2 = 34 \\
207 - 34 = 173
$$
بنابراین فاصلۀ بین بالای اولین حلقه تا پایین آخرین حلقه برابر با \(173 \text{ cm}\) می باشد.