پین های بازی بولینگ و توپ های بازی اسنوکر اغلب در آرایشی مثلثی شکل مرتب می شوند. یک عدد مثلثی عددی است که بتوان آن را با آرایه ای مثلثی شکل از نقاط نشان داد.






هر عدد مثلثی یک سری حسابی می باشد. دنبالۀ زیر چهار عدد مثلثی اول را نشان می دهد.
$$
1, (1 + 2),(1 + 2 + 3), (1 + 2 + 3 + 4),\text{ …}\\
1, 3, 6, 10
$$

1. دهمین عدد مثلثی چه عددی است؟
   
2. با استفاده از فرمول عمومی جمع یک سری حسابی، نشان دهید که \(n\)امین عدد مثلثی برابر با \(\frac{n}{2}(n+1)\) می باشد.
   

پاسخ

1. $$
   1+2+3+\text{...}+10\\
   t_1 = 1\\
   d=1\\
   n=10\\
   S_n=\frac{n}{2} \biggl[ 2t_1 + (n-1)d \biggr]\\
   S_{10}=\frac{10}{2} \biggl[ 2(1)+(10-1)(1) \biggr]\\
   S_{10}= 5 (11)\\
   S_{10}=55
   $$
   
2. $$
   S_n=\frac{n}{2} \biggl[ 2t_1 + (n-1)d \biggr]\\
   S_n = \frac{n}{2} \biggl[ 2(1)+(n-1)(1) \biggr]\\
   S_n = \frac{n}{2} (2+n-1) \\
   S_n= \frac{n}{2} (n+1)
   $$