نویسنده : امیر انصاری

1. سه جملۀ اول این سری را تعیین کنید.
   
2. با استفاده از فرمول جمع سری حسابی، مجموع \(10\) جملۀ اول این سری را تعیین کنید.
   
3. با استفاده از فرمول داده شده، مجموع \(10\) جملۀ اول این سری را تعیین کنید.
   
4. با استفاده از فرمول عمومی جمع یک سری حسابی، نشان دهید که چگونه فرمول های \(\text{b}\) و \(\text{c}\) با هم برابرند.
   

پاسخ

1. با استفاده از فرمول \(S_n=2n^2+5n\) جمع جملات اول و دوم را بدست می آوریم:
   $$
   S_n=2n^2+5n\\
   S_1 = 2(1)^2+5(1)\\
   S_1 = 2+5\\
   S_1=7\\
   \text{ }\\[2ex]
   S_2 = 2(2)^2+5(2)\\
   S_2=2(4)+10\\
   S_2 = 8+10\\
   S_2=18
   $$
   جمع یک جملۀ اول یک سری قطعا برابر با همان جملۀ اول سری می باشد، بنابراین \(t_1=7\)، در اینجا داریم که \(S_2=18\)، جملۀ اول را از این عدد تفریق می کنیم تا جملۀ دوم نیز بدست آید:
   $$
   S_2 - t_1 = t_2\\
   18 - 7 = 11\\
   t_2 = 11
   $$
   حالا به سادگی و با تفریق جملۀ دوم از جملۀ اول، قدر نسبت یا \(d\) نیز بدست می آید، هم اکنون می توانیم این دنباله را تا هر تعداد جمله که بخواهیم به راحتی ادامه دهیم:
   $$
   d = t_2 - t_1\\
   d = 11-7\\
   d = 4\\
   \text{ }\\[2ex]
   7 + 11 + 15
   $$
   
2. $$
   S_n = \frac{n}{2} \biggl[ 2t_1 + (n-1)d \biggr]\\
   S_{10}= \frac{10}{2} \biggl[ 2(7) + (10-1)(4) \biggr]\\
   S_{10}= 5 (14+36)\\
   S_{10}= 5(50)\\
   S_{10}=250
   $$
   
3. $$
   S_n=2n^2+5n\\
   S_{10}=2(10)^2+5(10)\\
   S_{10}=2(100)+50\\
   S_{10}=250
   $$
   
4. $$
   S_n=\frac{n}{2} \biggl[ 2t_1+(n-1)d \biggr]\\
   S_n = \frac{n}{2} \biggl[ 2(7)+(n-1)(4) \biggr]\\
   S_n = \frac{n}{2} (14+4n-4)\\
   S_n = \frac{n}{2} (4n+10)\\
   S_n = 2n^2 + 5n
   $$