ناتان گرلوس، کشاورزی از ایالت مانیتوبای کانادا، برای برداشت محصول گندم از مزرعه اش آماده می شود. ناتان برداشت محصول را در ساعت \(\text{11:00 a.m.}\)، بعد از اینکه شبنم صبحگاهی تبخیر می شود، آغاز می کند. در انتهای ساعت اول او \(240\) دسته گندم می چیند. ناتان خودش را به چالش می کشد تا تعداد دسته های برداشت شده در انتهای هر ساعت را افزایش دهد. فرض کنید که این افزایش یک دنبالۀ حسابی تولید می کند که در آن، در انتهای ساعت دوم \(250\) دسته گندم، در انتهای ساعت سوم \(260\) دسته گندم برداشت می شود، و این دنباله به همین ترتیب ادامه می یابد.

1. یک سری بنویسید که مقدار گندم برداشت شده توسط ناتان در انتهای ساعت هفتم را نشان دهد.
   
2. فرمول عمومی جمعی را بنویسید که نشان دهد تعداد دسته های گندم برداشت شده توسط ناتان از مزرعه، در انتهای ساعت \(n\)ام چقدر می باشد.
   
3. مجموع دسته های گندم برداشت شده در انتهای هفت ساعت را مشخص سازید.
   
4. هر گونه فرضیاتی را که لحاظ کرده اید، بنویسید.
   

پاسخ

1. $$
   240 + 250 + 260 + \text{…} + 300
   $$
   
2. $$
   S_n=\frac{n}{2} \biggl[ 2t_1+(n-1)d \biggr]\\
   S_n = \frac{n}{2} \biggl[ 2(240) + (n-1)(10) \biggr]\\
   S_n = \frac{n}{2} (480+10n-10)\\
   S_n = \frac{n}{2} (10n+470)\\
   S_n = 5n^2 + 235n
   $$
   
3. $$
   S_n = 5n^2 + 235n\\
   S_7 = 5(7)^2+235(7)\\
   S_7 = 5(49)+1645\\
   S_7 = 245+1645\\
   S_7 = 1890
   $$
   
4. مفروض ما در این دنباله اینست که ناتان تا انتهای ساعت هفتم مدام هر ساعت نسبت به ساعت قبل \(10\) دسته گندم بیشتر برداشت کند و وسط کار خسته نشود یا به هر دلیل دیگر کارش متوقف نشود.