پیانوی مدرنی \(88\) کلید دارد. فرکانس نُت های آن از بازۀ \(A_0\)، پایین ترین نت، در \(27.5 \text{ Hz}\)، تا \(C_8\)، بالاترین نت این پیانو، در \(4186.009 \text{ Hz}\) می باشد. همینطور که در این کلیدها بالا می روید، فرکانس این نت ها یک دنبالۀ حسابی تقریبی را ایجاد می کند.

1. قدرنسبت دنباله ای هندسی که از پایین ترین کلید، \(A_0\)، تا کلید چهارم، \(C_1\)، در فرکانس \(32.7 \text{ Hz}\)، تولید شده است را تعیین کنید.
   
2. از پایینترین و بالاترین فرکانس برای تأیید قدرنسبت یافت شده در بخش a استفاده کنید.
   

پاسخ

1. این وضعیت می تواند با یک دنبالۀ هندسی مدلسازی شود.
   در این دنباله:
   اولین جمله \(t_1=27.5\)
   تعداد جملات \(n=4\)
   جملۀ \(n\)ام \(t_n=32.7\)
   
   از جملۀ عمومی دنبالۀ هندسی استفاده کنید:
   $$
   t_n=t_1r^{n-1}\\
   \color{red}{32.7}=(\color{red}{27.5})(r^{\color{red}{4}-1})\\
   \frac{32.7}{27.5} = \frac{27.5r^3}{27.5}\\
   \frac{32.7}{27.5}=r^3\\
   \sqrt[3]{\frac{32.7}{27.5}}=r\\
   1.0594… = r
   $$
   قدرنسبت این دنباله تقریباً \(1.06\) می باشد.
   
2. در این دنباله:
   اولین جمله \(t_1=27.5\)
   تعداد جملات \(n=88\)
   جملۀ \(n\)ام \(t_n=4186.009\)
   
   از جملۀ عمومی دنباله های هندسی استفاده کنید.
   $$
   t_n=t_1 r^{n-1}\\
   \color{red}{4186.009}=(\color{red}{27.5})(r^{\color{red}{88}-1})\\
   \frac{4186.009}{27.5}=r^{87}\\
   \sqrt[87]{\frac{4186.009}{27.5}}=r\\
   1.0594...=r
   $$
   قدرنسبت این دنباله تقریباً \(1.06\) است.
   

حالا نوبت شماست

در سال \(1990\) جمعیت کانادا تقریباً \(26.6\) میلیون نفر بود. پیش بینی می شود جمعیت سال \(2025\) تقریباً \(38.4\) میلیون نفر باشد. اگر این پیش بینی مبتنی بر یک دنبالۀ هندسی باشد، نرخ رشد سالانه چقدر خواهد بود؟ با توجه به اینکه این یک دنبالۀ هندسی است چه فرضیاتی را در نظر می گیرید؟