تمرین 10: دنبالۀ هندسی، استفادۀ کاربردی

رنگ برخی از لباس ها به مرور زمان و بر اثر شستن کم رنگ می شود. فرض کنید که رنگ یک شلوار جین با هر بار شستن $5\%$ محو می شود.

بعد از یک بار شستن این لباس، چند درصد از رنگ آن باقی می ماند؟
اگر $t_1=100$ باشد، چهار جملۀ اول این دنباله چه می باشند؟
مقدار $r$ در دنبالۀ هندسی شما چیست؟
بعد از $10$ بار شُستن، چند درصد از رنگ لباس باقی می ماند؟
برای اینکه فقط $25\%$ رنگ اصلی باقی بماند، چند بار نیاز است که این شلوار جین را بشوییم؟ چه مفروضاتی را در نظر می گیرید؟

پاسخ

اگر $5\%$ از رنگ لباس از دست برود، $95\%$ از رنگ آن باقی می ماند.
$$
t_1=100\\
r=95\%=0.95\\
t_n=t_1 r^{n-1}\\
t_n=100(0.95)^{n-1}\\
\text{ }\\[2ex]
t_2=100(0.95)^{2-1}=100(0.95)^1=95\\
t_3=100(0.95)^{3-1}=100(0.95)^2=90.25\\
t_4=100(0.95)^{4-1}=100(0.95)^3=85.73\\
\text{ }\\[2ex]
100,95,90.25,85.73
$$
$$
r = 0.95
$$
مسأله می گوید بعد از $10$ بار شستن چند درصد از رنگ لباس باقی می ماند. با توجه به اینکه اولین عدد این دنباله، یعنی $100$، جزء بعد از شستن ها حساب نمی شود و رنگ اورجینال است، ما جملۀ یازدهم را برای پاسخ به این مسأله نیاز داریم:
$$
t_n= 100(0.95)^{n-1}\\
t_{11}=100(0.95)^{11-1}=100(0.95)^{10} \approx 59.87
$$
برای حل این قسمت از روش حدس زدن و درست آزمایی استفاده می کنیم. مقادیری حدسی را در $n$ جایگذاری می کنیم و با سعی و خطا به پاسخ اصلی می رسیم:
$$
t_{17}=100(0.95)^{16} \approx 44.01 \text{ پاسخ بدست آمده خیلی بزرگ است} \\
t_{26}=100(0.95)^{25} \approx 27.73 \text{ ظاهراً نزدیک شده ایم اما هنوز پاسخ بزرگ است}\\
t_{28}=100(0.95)^{27} \approx 25.03 \text{ خودش است}
$$
در جملۀ $28$ این دنباله به عدد تقریبی $25.03$ می رسیم، اما توجه کنید که تا جملۀ $28$ام، ما در واقع $27$ بار عمل شستن شلوار جین را انجام داده ایم. مسأله از ما می پرسد بعد از چند بار شستن به میزان $25\%$ از رنگ اصلی لباس می رسیم، پاسخ اینست که بعد از $27$ بار شستن.
مفروضات ما در این مسأله اینست که دنبالۀ هندسی به همین شکل ادامه یابد و هر بار شستن $5\%$ از رنگ لباس را محو کند.