"بازی های زمستانی شمالگان" یک رقابت ورزشی مورد توجه و مهم برای ورزشکاران شمالی و قطب شمال می باشد. ورزش های برتر این مسابقات "دِنِ" و "اینویت" هستند که شامل کشش بازو، ضربۀ بلند با یک پا، ضربۀ بلند با دو پا، و بازی های دستی "دِنِ" می باشد. این مسابقات هر دو سال یکبار برگزار می شوند. اولین بازی های زمستانی شمالگان در سال \(1970\) برگزار شد که \(700\) شرکت کننده را به خود جلب کرد. در سال \(2008\) این بازی ها در "یِلونایف" برگزار شد که \(2000\) شرکت کننده در آن حضور داشتند. اگر تعداد شرکت کنندگان در این بازی ها از سال \(1970\) تا \(2008\) به شکل هندسی رُشد کرده باشد، نرخ رشد سالیانه تعداد شرکت کنندگان در بازی های زمستانی شمالگان از یک دورۀ این بازی ها به دورۀ بعد را تعیین کنید. پاسختان را به نزدیک ترین دهم درصد بیان کنید.

پاسخ

فاصلۀ سال های \(1970\) تا \(2008\) برابر با \(38\) سال می شود و از آنجا که در این مدت هر دو سال یکبار مسابقات برگزار شده اند، پس \(19\) دوره داریم. اما مسأله از ما نرخ رشد سالیانه را خواسته است، پس همان تعداد سال ها را ملاک می گیریم و نه تعداد دوره ها.
$$
t_1=700\\
n=38\\
t_{38}=2000\\
\text{ }\\[2ex]
t_n=t_1 r^{n-1}\\
t_{38}=700 (r)^{38-1}\\
2000=700 (r)^{37}\\
\frac{2000}{700} = r^{37}\\
\sqrt[37]{\frac{2000}{700}} = r\\
1.0288 \approx r
$$
قدر نسبت برابر با \(r = 1.0288\) است، این مقدار دقیقاً به چه معناست، برای درک آن به مثال زیر توجه کنید:
$$
700 \times 1.0288 = 720.16
$$
اگر تعداد شرکت کنندگان در سال اول (یعنی \(1970\)) را در قدر نسبت ضرب کنیم، تعداد شرکت کنندگان در سال دوم (یعنی \(1971\)) بدست می آید، این تعداد از \(700\) به \(720.16\) رسیده است. حالا یک نکتۀ مهم در مسأله وجود دارد و آن اینکه مسأله نرخ رشد سالیانه را از ما می خواهد، یعنی درصد مربوط به آن \(20.16\) نفر اضافی را و نه کل \(720.16\) نفر را.
برای رسیدن به نرخ رشد سالیانه کافیست از قدر نسبت \(1\) واحد کم کنیم:
$$
1.0288 - 1 = 0.0288
$$
هم اکنون نرخ رشد سالیانه یعنی \(0.0288\) را داریم. اما مسأله از ما می خواهد که این مقدار را به درصد و البته دقیقترش به نزدیکترین دهم درصد بیان کنیم. برای تبدیل اعداد اعشاری به درصدها کافیست آن را در \(100\) ضرب کنیم:
$$
0.0288 = 2.88\% \approx 2.9\%
$$
پاسخ نهایی این مسأله \(2.9\%\) می باشد.