نویسنده : امیر انصاری

• با یک مثلث متساوی الاضلاع آغاز کنید (مرحلۀ 1).
  
• در وسط هر پاره خطی که اضلاع این مثلث متساوی الاضلاع را تشکیل می دهند، یک مثلث متساوی الاضلاع بسازید که طول هر ضلع آن \(\frac{1}{3}\) آن پاره خط باشد.
  
  
• قاعدۀ این مثلث را حذف کنید (مرحلۀ \(2\)).
  
• برای هر پاره خطی که در مرحلۀ \(2\) ایجاد شده است، یک مثلث متساوی الاضلاع بسازید و قاعدۀ آن را حذف کنید (مرحلۀ \(3\)).
  
• همینطور که از مرحله ای به مرحلۀ بعد می روید این فرآیند را برای هر پاره خط تکرار کنید.
  

1. همراه با یک دوست کار کنید. از یک کاغذ نقطه دار (dot paper) برای ترسیم سه مرحله از برفدانۀ کُخ استفاده کنید.
   
2. جدول زیر را کامل کنید.
   
   

   شمارۀ مرحله	طول هر پاره خط	تعداد پاره خط ها	محیط برفدانه
   \(1\)	\(1\)	\(3\)	\(3\)
   \(2\)	\(\frac{1}{3}\)	\(12\)	\(4\)
   3	\(\frac{1}{9}\)
   4
   5

   
   
3. جملۀ عمومی مربوط به طول هر پاره خط، تعداد پاره خط ها، و محیط این برفدانه را تعیین کنید.
   
4. محیط این برفدانه تا مرحلۀ \(6\) چقدر است؟
   

پاسخ

1. -
   
2. 
   

   شمارۀ مرحله	طول هر پاره خط	تعداد پاره خط ها	محیط برفدانه
   \(1\)	\(1\)	\(3\)	\(3\)
   \(2\)	\(\frac{1}{3}\)	\(12\)	\(4\)
   \(3\)	\(\frac{1}{9}\)	\(48\)	\(\frac{16}{3}\)
   \(4\)	\(\frac{1}{27}\)	\(192\)	\(\frac{64}{9}\)
   \(5\)	\(\frac{1}{81}\)	\(768\)	\(\frac{256}{27}\)

   
   
3. جملۀ عمومی طول پاره خط:
   $$
   t_n=\biggl( \frac{1}{3} \biggr)^{n-1}
   $$
   جملۀ عمومی تعداد پاره خط ها:
   $$
   t_n=3(4)^{n-1}
   $$
   جملۀ عمومی محیط برفدانه:
   $$
   t_n=3\biggl( \frac{4}{3} \biggr)^{n-1}
   $$
   
4. $$
   t_n=3\biggl( \frac{4}{3} \biggr)^{n-1}\\
   t_6 = 3 \biggl( \frac{4}{3} \biggr)^{6-1}\\
   t_6 = 3 \biggl( \frac{4}{3} \biggr)^{5}\\
   t_6 = \frac{1024}{81} \approx 12.64
   $$