یک "سیستم فن اوت" (fan-out system) برای برقراری تماس با گروه بزرگی از افراد مورد استفاده قرار می گیرد. مسئول کمیتۀ تماس، اطلاعات را به چهار نفر انتقال می دهد. هر کدام از این چهار نفر، خودشان چهار نفر دیگر را آگاه می کنند و این رویه به همین ترتیب ادامه می یابد و هر شخصی که با او تماس گرفته می شود خودش با چهار نفر دیگر تماس می گیرد.

1. سری متناظر با تعداد افرادی که با آنها تماس گرفته می شود را بنویسید.
   
2. بعد از ده سطح در این سیستم، چند نفر از اطلاعات مربوطه آگاه شده اند؟
   

پاسخ

1. اگر شخصی که مسئول تماس اولیه است در نظر گرفته شود، این سری اینگونه خواهد بود:
   $$
   1+4+16+64+\text{...}
   $$
   و اگر آن شخص اولیه در نظر گرفته نشود و فقط افرادی که با آنها تماس گرفته شده است لحاظ شوند:
   $$
   4+16+64+\text{...}
   $$
   
2. برای بدست آوردن جمع افرادی که با آنها تماس گرفته شده است از فرمول زیر استفاده می کنیم:
   $$
   S_n=\frac{t_1(r^n - 1)}{r-1}
   $$
   اگر شخص اولیه را در سری لحاظ کنیم:
   $$
   S_{10} = \frac{1(4^{10} - 1)}{4-1} = 349,525
   $$
   اگر شخص اولیه را در سری لحاظ نکنیم:
   $$
   S_{10}=\frac{4(4^{10}-1)}{4-1}=1,398,100
   $$