جملۀ دوم یک سری هندسی که جملۀ سوم آن \(\frac{9}{4}\) و جملۀ ششم آن \(-\frac{16}{81}\) است، چه می باشد؟ جمع شش جملۀ اول این سری را محاسبه کنید. پاسختان را به نزدیک ترین دهم بیان کنید.

پاسخ

در این سری جملۀ سوم و ششم را داریم و جملۀ دوم مجهول ما است. با استفاده از فرمول عمومی دنباله های هندسی و مقادیر معلوم جملۀ سوم و ششم، مقادیر \(r\) و \(t_1\) را بدست می آوریم و با استفاده از این دو مقدار می توانیم به سادگی جملۀ دوم یا سایر جملات این سری را بدست آوریم.
$$
t_n=t_1 r^{n-1}\\
t_3 = t_1 r^{3-1}\\
\frac{9}{4} = t_1 r^2\\
\text{ }\\[2ex]
t_6=t_1 r^{6-1}\\
-\frac{16}{81}=t_1 r^5
$$
در اینجا دو معادله و دو مجهول داریم، برای حل کردن آنها با استفاده از روش جایگزینی، یکی از این معادلات را برای بدست آوردن یکی از متغیرها حل می کنیم و مقدار بدست آمده را در دیگری جایگزین می کنیم:
$$
\frac{9}{4}=t_1 r^2\\
\frac{1}{r^2} \bigl( \frac{9}{4} \bigr) = t_1\\
\frac{9}{4r^2}=t_1\\
\text{ }\\[2ex]
-\frac{16}{81}=t_1 r^5\\
-\frac{16}{81}=\biggl( \frac{9}{4 r^2} \biggr) r^5\\
-\frac{16}{81}= \frac{9}{4} r^3\\
\biggl( \frac{4}{9} \biggr) \biggl( -\frac{16}{81} \biggr) = r^3\\
-\frac{64}{729} = r^3\\
\sqrt[3]{-\frac{64}{729}} = r\\
-\frac{4}{9} = r
$$
حالا که مقدار \(r\) را بدست آورده ایم با جایگزینی آن در یکی از معادلات بالا مقدار متغیر دیگر یعنی \(t_1\) را نیز بدست می آوریم:
$$
\frac{9}{4} = t_1 r^2\\
\frac{9}{4} = t_1 \bigl( -\frac{4}{9} \bigr)^2\\
\frac{9}{4} = t_1 \bigl( \frac{16}{81} \bigr)\\
\biggl( \frac{81}{16} \biggr) \biggl( \frac{9}{4} \biggr) = t_1\\
\frac{729}{64} = t_1
$$
حالا هم \(t_1\) را داریم و هم \(r\) را، به راحتی می توانیم جملۀ دوم را نیز تعیین کنیم:
$$
t_2=t_1 \cdot r\\
t_2 = \frac{729}{64} \cdot -\frac{4}{9} = -\frac{81}{16}
$$
بخش دوم این مسأله از ما جمع شش جملۀ اول این سری را می خواهد، با فرمول جمع سری های هندسی آن را بدست می آوریم:
$$
S_n=\frac{t_1(r^n - 1)}{r-1}\\
S_6 = \frac{\frac{729}{64} \biggl( \bigl( -\frac{4}{9} \bigr)^6 - 1 \biggr)}{-\frac{4}{9}-1}\\
S_6 = \frac{40,565}{5,184} \approx 7.8
$$