توپی از ارتفاع \(16 \text{ m}\) سقوط می کند. هر بار که این توپ به زمین اصابت می کند، معادل یک دوم ارتفاع قبلی اش به هوا باز می گردد. اگر این توپ به جهش هایش ادامه دهد، مجموع مسافت عمودی که این توپ می پیماید چقدر است؟

پاسخ

برای پاسخ دادن به این مسأله به یک نکته توجه کنید، منهای سقوط اولیۀ این توپ، در سایر جهش ها، توپ یکبار به زمین می خورد، بعد بالا می رود، و دوباره به سمت زمین می آید، این یعنی مسافت طی شده در هر جهش دو برابر می شود. با این حساب سری ما به شکل زیر خواهد بود:
$$
2(8)+2(4)+2(2)+\text{...}\\
16+8+4+\text{...}
$$
حالا جمع این سری را محاسبه می کنیم و سپس آن \(16 \text{ m}\) اولیه را نیز به آن می افزاییم:
$$
t_1=16\\
r=\frac{1}{2}\\
S_{\infty} = \frac{t_1}{1-r}, -1 \lt r \lt 1\\
S_{\infty} = \frac{16}{1-\frac{1}{2}}\\
S_{\infty} = \frac{16}{\frac{1}{2}}\\
S_{\infty} = 32
$$
جمع سری بی نهایت مربوطه \(32 \text{ m}\) شد، \(16 \text{ m}\) آغازین را نیز در آن لحاظ می کنیم:
$$
32 + 16 = 48 \text{ m}
$$