خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
تمرین 19: سری هندسی بی نهایت، توسعه
یک قطعه کاغذ مربع شکل به طول ضلع \(24 \text{ cm}\) به چهار مربع کوچک بریده می شود که طول ضلع هر کدام از آنها \(12 \text{ cm}\) می باشد. سه تا از این مربع ها کنار یکدیگر قرار می گیرند. مربع باقیمانده به چهار مربع کوچکتر، به طول ضلع \(6 \text{ cm}\) بریده می شود. سه تا از این مربع ها در کنار مربع های بزرگتر مرحلۀ قبل قرار می گیرند. چهارمین مربع به چهار مربع کوچکتر بریده می شود و سه تا از این مربع ها در کنار مربع های قبلی قرار می گیرند. فرض کنید که این فرآیند به طور نامحدود ادامه یابد. طول این مربع های کنار یکدیگر چیده شده چقدر می باشد؟
از کنار هم قرار دادن این مجموعه های سه مربع هم اندازه، در کنار یکدیگر، یک سری هندسی تشکیل می شود:
$$
3(12)+3(6)+3(3)+\text{...}\\
36+18+9+\text{...}
$$
قدر نسبت این سری \(\frac{1}{2}\) می باشد. برای بدست آوردن طول تمامی این مربع ها از فرمول جمع سری هندسی همگرا استفاده می کنیم:
$$
S_{\infty} = \frac{t_1}{1-r}, -1 \lt r \lt 1\\
S_{\infty} = \frac{36}{1-\frac{1}{2}}\\
S_{\infty} = \frac{36}{\frac{1}{2}}\\
S_{\infty} = 72 \text{ cm}
$$
پاسخ
از کنار هم قرار دادن این مجموعه های سه مربع هم اندازه، در کنار یکدیگر، یک سری هندسی تشکیل می شود:
$$
3(12)+3(6)+3(3)+\text{...}\\
36+18+9+\text{...}
$$
قدر نسبت این سری \(\frac{1}{2}\) می باشد. برای بدست آوردن طول تمامی این مربع ها از فرمول جمع سری هندسی همگرا استفاده می کنیم:
$$
S_{\infty} = \frac{t_1}{1-r}, -1 \lt r \lt 1\\
S_{\infty} = \frac{36}{1-\frac{1}{2}}\\
S_{\infty} = \frac{36}{\frac{1}{2}}\\
S_{\infty} = 72 \text{ cm}
$$
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: