تمرین 18: سری هندسی

یک دانش آموز با استفاده از یک برنامۀ کامپیوتری یک سری خطوط راست را کشیده است که هر خط از انتهای خط قبلی آغاز می شود و با خط قبلی اش یک زاویۀ قائمه را می سازد. طول اولین خط $4 \text{ mm}$ می باشد. هر خط بعد از آن $25\%$ طولانی تر از خط قبلی اش است، به نحویکه در شکل مارپیچ زیر می بینید.

طول هشتمین خط مستقیم که توسط این برنامه کشیده شده است، به میلیمتر چقدر است؟ پاسختان را به نزدیکترین دهم میلیمتر بیان کنید.
هنگامی که $20$ خط راست کشیده شود، مجموع طول این مارپیچ را به متر بیان کنید. پاسختان را به نزدیکترین صدم متر بیان کنید.

پاسخ

$$
t_1=4 \text{ mm}\\
r=125%=1.25\\
t_n=t_1 r^{n-1}\\
t_8 = 4 (1.25)^{8-1} \approx 19.1 \text{ mm}
$$
$$
S_n=\frac{t_1(r^n -1)}{r-1},r \ne 1\\
S_{20} = \frac{4((1.25)^{20}-1)}{1.25-1} \approx 1371.78 \text{ mm} \approx 1.37 \text{ m}
$$