نویسنده : امیر انصاری

1. مساحت هر مربع را محاسبه کنید. آیا این مساحت ها یک دنبالۀ هندسی را تشکیل می دهند؟ برای پاسختان دلیل بیاورید.
   
2. جمع مساحت های این چهار مربع چقدر است؟
   
3. اگر این فرآیند افزودن مربع هایی با اندازۀ ضلعی برابر با نصف اندازۀ ضلع مربع قبلی، به طور نامحدود ادامه یابد، مجموع مساحت تمامی این مربع ها چقدر خواهند بود؟
   

پاسخ

1. این مساحت ها یک دنبالۀ هندسی را تشکیل می دهند که قدر نسبت آن \(\frac{1}{4}\) می باشد و به شرح زیرند:
   $$
   1,\frac{1}{4},\frac{1}{16},\frac{1}{64}
   $$
   
2. $$
   S_n=\frac{t_1(r^n -1)}{r-1},r \ne 1\\
   S_4=\frac{1((\frac{1}{4})^4 - 1)}{\frac{1}{4}-1} = \frac{85}{64}=1\frac{21}{64} \approx 1.33 \text{ units}^2
   $$
   
3. $$
   S_{\infty} = \frac{t_1}{1-r}, -1 \lt r \lt 1\\
   S_{\infty} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \text{ units}^2
   $$