"پُل" و "گِیل" تصمیم گرفتند تا از یک صفحۀ دکارتی برای طراحی منظرۀ حیاطشان استفاده کنند. هر علامت شبکه نشان دهندۀ مسافتی \(10 \text{ m}\) است. خانۀ آنها در مبدأ قرار گرفته است. یک درخت افرایِ قرمز (red maple) در نقطۀ \((3.5,2)\) قرار دارد. آنها می خواهند یک درخت گل دار "داگ وود" (flowering dogwood) در نقطه ای که بازتابی از موقعیت افرای قرمز بر روی محور \(y\) است، بکارند. یک کاج سفید (white pine) به نحوی کاشته می شود که بازتابی از افرای قرمز بر روی محور \(x\) باشد. یک درخت غان رودخانه ای (river birch) به نحوی کاشته می شود که بازتابی از درخت افرای قرمز هم بر روی محور \(x\) و هم بر روی محور \(y\) باشد.

1. مختصات درختانی را که پُل و گیل می خواهند بکارند، تعیین کنید.
   
2. اگر خط هایی که از خانه به هر کدام از این درختان ترسیم شوند، بازوهای نهایی باشند، زاویای ایجاد شده در موقعیت استاندارد را تعیین کنید. پاسختان را به نزدیکترین درجه بیان کنید.
   
3. فاصلۀ واقعیِ بین درخت افرای قرمز و درخت کاج سفید چقدر است؟
   

پاسخ

1. درخت گل دار داگ وود (flowering dogwood): \((-3.5,2)\)
   درخت غان رودخانه ای (river birch): \((-3.5,-2)\)
   درخت کاج سفید (white pine): \((3.5,-2)\)
   
   
2. اگر از نقطۀ \((3.5,2)\) که درخت افرا در آن قرار دارد، خطی را بر محور \(x\) عمود کنیم، یک مثلث قائم الزاویه خواهیم داشت که اندازۀ دو ساق آن برابر با \(3.5\) و \(2\) می باشند. با استفاده از قضیۀ فیثاغورث اندازۀ وتر را که تقریباً برابر با \(4\) است، بدست می آوریم. هم اکنون سینوس زاویۀ خواسته شده را بدست می آوریم:
   $$
   \sin \theta = \frac{\text{ضلع روبرو}}{\text{وتر}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
   $$
   سینوس این زاویه \(\frac{1}{2}\) است، ما می دانیم که \(\sin 30^{\circ}\) برابر با \(\frac{1}{2}\) است، پس این زاویه \(30^{\circ}\) است.
   از آنجا که می دانیم سایر زوایا بازتاب هایی از این زاویه هستند، در واقع همۀ زوایای دیگر نیز دارای زاویۀ مرجع \(30^{\circ}\) هستند. در واقع الان صورت مسألۀ ما اینست که زاویۀ در موقعیت استاندارد را برای زاویۀ مرجع \(30^{\circ}\) در ربع صفحه های دوم، سوم، و چهارم بیابیم:
   $$
   \text{flowering dogwood: }\\
   Q2 \to \theta_R = 180^{\circ} - \theta\\
   30^{\circ} = 180^{\circ} - \theta\\
   30^{\circ} - 180^{\circ} = -\theta\\
   -150^{\circ} = -\theta\\
   150^{\circ} = \theta\\
   \text{ }\\[2ex]
   \text{river birch:}\\
   Q3 \to \theta_R = \theta - 180^{\circ}\\
   30^{\circ} = \theta - 180^{\circ}\\
   30^{\circ} + 180^{\circ} = \theta\\
   210^{\circ} = \theta\\
   \text{ }\\[2ex]
   \text{white pine:}\\
   Q4 \to \theta_R = 360^{\circ} - \theta\\
   30^{\circ} = 360^{\circ} - \theta\\
   30^{\circ} - 360^{\circ} = -\theta\\
   -330^{\circ} = -\theta\\
   330^{\circ} = \theta
   $$
   
3. فاصلۀ این دو درخت \(40\) متر می باشد.