نویسنده : امیر انصاری

• مرحلۀ 1:
  1. دایره ای به شعاع \(5\) واحد و مرکز آن در مبدأ مختصات بکشید.
     
  2. نقطۀ \(A\) را بر روی محیط این دایره در ربع صفحۀ اول قرار دهید. با ایجاد پاره خطی این نقطه را به مبدأ مختصات متصل کنید. این مسافت را \(r\) بنامید.
     
• مرحلۀ 2:
  1. مختصات \(x\) و \(y\) نقطۀ \(A\) را ثبت کنید.
     
  2. فرمولی بسازید که نسبت سینوس این زاویه را در موقعیت استاندارد که بازوی نهایی آن از نقطۀ \(A\) عبور می کند را محاسبه کند. از این اندازه و ویژگی های محاسباتی نرم افزارتان استفاده کنید تا نسبت سینوس این زاویه را محاسبه کنید.
     
  3. مرحلۀ \(b\) را برای بدست آوردن نسبت های کسینوس و تانژانت برای زاویه ای در موقعیت استاندارد که بازوی نهایی اش از نقطۀ \(A\) می گذرد، تکرار کنید.
     
• مرحلۀ 3: نقطۀ \(A\) را حرکت دهید و چندین بار جابجا کنید.
  
• مرحلۀ 4:
  1. مشاهدات شما در مورد نسبت های سینوس، کسینوس، و تانژانت با تغییر مکان نقطۀ \(A\) بر روی محیط دایره چه می باشد؟
     
  2. در جایی که نسبت های سینوس و کسینوس با هم برابر می باشند، مقادیر را یادداشت کنید. اندازۀ زاویه در این نقطه چه می باشد؟
     
  3. هنگامی که نقطۀ \(A\) در ربع صفحه های مختلف جابجا می شود، در مورد علامت این نسبتها متوجه چه چیزی شدید؟ توضیح دهید.
     
  4. برای چندین انتخاب دلخواه از \(A\) مقدار نسبت سینوس را بر نسبت کسینوس تقسیم کنید. در مورد این محاسبه متوجه چه نکته ای شدید؟ آیا این مسأله که متوجه آن شدید در مورد تمامی زوایایی که با حرکت \(A\) بوجود می آیند، صدق می کند؟
     

پاسخ

1. با حرکت نقطۀ \(A\) پیرامون این دایره، در ربع صفحۀ اول نسبت سینوس از \(0\) به \(1\) افزایش می یابد، در ربع صفحۀ دوم از \(1\) به \(0\) کاهش می یابد، در ربع صفحۀ سوم از \(0\) به \(-1\) کاهش می یابد، و در ربع صفحۀ چهارم از \(-1\) به \(0\) افزایش می یابد.
   نسبت کسینوس در ربع صفحۀ اول از \(1\) به \(0\) کاهش می یابد، در ربع صفحۀ دوم از \(0\) به \(-1\) کاهش می یابد، در ربع صفحۀ سوم از \(-1\) به \(0\) افزایش می یابد، و در ربع صفحۀ چهارم از \(0\) به \(1\) افزایش می یابد.
   نسبت تانژانت در ربع صفحۀ اول از \(0\) تا بی نهایت افزایش می یابد، برای زاویۀ \(90^{\circ}\) تعریف نشده می باشد، در ربع صفحۀ دوم از منفی بی نهایت تا \(0\) افزایش می یابد، در ربع صفحۀ سوم از \(0\) تا مثبت بی نهایت افزایش می یابد، در زاویۀ \(270^{\circ}\) تعریف نشده است، و در ربع صفحۀ چهارم از منفی بی نهایت تا \(0\) افزایش می یابد.
   
   
2. نسبت های سینوس و کسینوس هنگامی که \(A\) تقریباً برابر با \((-3.5355, -3.5355)\) می باشد، با هم برابرند. این با زاویه های \(45^{\circ}\) و \(225^{\circ}\) متناظر می باشد.
   
   
3. نسبت سینوس در ربع صفحه های اول و دوم مثبت و در ربع صفحه های سوم و چهارم منفی می باشد.
   نسبت کسینوس در ربع صفحه های اول و چهارم مثبت و در ربع صفحه های دوم و سوم منفی است.
   نسبت تانژانت در ربع صفحه های اول و سوم مثبت و در ربع صفحه های دوم و چهارم منفی می باشد.
   
   
4. هنگامی که نسبت سینوس بر نسبت کسینوس تقسیم گردد، نتیجه نسبت تانژانت خواهد بود. این مسأله در مورد تمامی زوایا صدق می کند.