آنتن های دیش ماهواره دارای شکل سهمی می باشند. دیش ماهواره ای را در نظر بگیرید که از این سو به آن سوی آن برابر با \(80 \text{ cm}\) می باشد. شکل سطح مقطع آن را می توان با تابع \(d(x)=0.0125x^2-x\) توصیف کرد، در این تابع \(d\) عمق دیش در یک مسافت افقی \(x\) سانتیمتری از یک لبۀ دیش در واحد سانتیمتر می باشد.

1. دامنۀ این تابع چه می باشد؟
   
2. نمودار این تابع را ترسیم کنید تا شکل سطح مقطع این دیش ماهواره را نشان دهید.
   
3. ماکزیمم عمق این دیش چقدر می باشد؟ آیا این مقدار با مقدار ماکزیمم این تابع متناظر می باشد؟ توضیح دهید.
   
4. برد این تابع چه می باشد؟
   
5. این دیش در نقطه ای که از لبۀ آن \(25 \text{ cm}\) فاصله دارد، چقدر عمق دارد؟
   

پاسخ

1. از آنجا که عرض دیش ماهواره \(80 \text{ cm}\) است، دامنۀ این تابع برابر است با: \(\{x| 0 \le x \le 80, x \in R \}\)
   
   
2. با استفاده از یک ماشین حساب نموداری، نمودار این تابع را ترسیم کنید:
   
   
3. مختصات رأس این سهمی \((40,-20)\) می باشد. بنابراین ماکزیمم عمق این دیش برابر با \(20 \text{ cm}\) می باشد. از آنجا که این سهمی رو به بالا باز می شود، این با مقدار مینیمم تابع متناظر می باشد.
   
   
4. برد این تابع برابر است با: \(\{d| -20 \le d \le 0, d \in R \}\)
   
   
5. برای تعیین عمق این دیش در نقطه ای که با لبۀ آن \(25 \text{ cm}\) فاصله دارد، \(x=25\) را در آن جایگذاری کنید:
   $$
   d(x)=0.0125x^2 - x\\
   d(\color{red}{25}) = 0.0125(\color{red}{25})^2 - \color{red}{25}\\
   d(25)=-171875
   $$
   عمق این دیش در نقطه ای که با لبۀ آن \(25 \text{ cm}\) فاصله دارد، تقریباً برابر با \(17.19 \text{ cm}\) می باشد.