تمرین 12: توابع درجه دوم در شکل استاندارد، استفادۀ کاربردی

یک عنکبوت جهنده از روی کُندۀ درختی به زمین می پرد. ارتفاع آن، $h$، در واحد سانتیمتر، به عنوان تابعی از زمان، $t$، در واحد ثانیه، از زمانی که او می پرد را می توان با تابع $h(t) = -490t^2 + 75t +12$ مدلسازی کرد. در سوالات زیر هر جا که مناسب باشد پاسخ ها را به نزدیکترین دهم گرد کنید.

نمودار این تابع را ترسیم کنید.
عرض از مبدأ این تابع چه چیزی را نشان می دهد.
این عنکبوت چه زمانی به ماکزیمم ارتفاعش می رسد؟ ماکزیمم ارتفاع او چقدر است؟
چه زمانی این عنکبوت بر زمین فرود می آید؟
در این وضعیت چه دامنه و بردی مناسب می باشد؟
بعد از سپری شدن $0.05 \text{ s}$، ارتفاع این عنکبوت چقدر می باشد؟

آیا می دانستید؟
به طور تخمینی $1400$ گونۀ عنکبوت در کانادا وجود دارند. حدود $110$ گونه از آنها عنکبوت های جهنده می باشند. ایالت بریتیش کلمبیا بزرگترین تنوع عنکبوت های جهنده را دارد. اگرچه عنکبوت های جهنده نسبتاً کوچک هستند (از $3 \text{ mm}$ تا $10 \text{ mm}$ طول دارند)، می توانند مسافت های افقی را تا $16 \text{ cm}$ پرش کنند.

پاسخ

عرض از مبدأ این تابع نشان دهندۀ ارتفاع کُندۀ درختی است که عنکبوت از روی آن می پرد.
از روی نمودار مشخص است که مقدار ماکزیمم این تابع یا رأس تابع برابر با $(0.077,14.9)$ می باشد، یعنی این عنکبوت تقریباً در زمان $0.1 \text{ s}$ به ماکزیمم ارتفاعش یعنی $14.9 \text{ cm}$ می رسد.
طول از مبدأ مثبت این تابع تقریباً برابر با $0.3$ می باشد. بنابراین این عنکبوت $0.3 \text{ s}$ بعد از پرش، به زمین فرود می آید.
از آنجا که نه ارتفاع و نه زمان هیچکدام نمی توانند منفی باشند، دامنۀ این تابع $\{t| 0 \le t \le 0.3, t \in R \}$ و برد آن $\{h| 0 \le h \le 14.9, h \in R \}$ می باشند.
برای تعیین ارتفاع این عنکبوت بعد از سپری شدن مدت $0.05 \text{ s}$ از پرش، $t=0.05$ را در $h(t)=-490t^2+75t+12$ جایگذاری کنید:
$$
h(\color{red}{0.05})=-490(\color{red}{0.05})^2+75(\color{red}{0.05})+12\\
h(0.05)=14.525
$$
ارتفاع این عنکبوت بعد از سپری شدن $0.05 \text{ s}$ تقریباً برابر با $14.5 \text{ cm}$ می باشد.