تمرین 20: توابع درجه دوم در شکل استاندارد، استفادۀ کاربردی

فاصلۀ توقف (stopping distance) در یک وسیلۀ نقلیه، مسافت پیموده شده بین زمانی است که راننده متوجه می شود که نیاز به توقف می باشد و زمانی که وسیلۀ نقلیه واقعاً توقف می کند. این شامل زمان عکس العمل راننده قبل از ترمز گرفتن و زمانی که طول می کشد تا بعد از ترمز گرفتن وسیلۀ نقلیه متوقف شود، می باشد. فاصلۀ توقف، $d$، در واحد متر، برای برخی وسایل نقلیۀ خاص را می توان با فرمول زیر تخمین زد:

$$
d(t)=\frac{vt}{3.6}+\frac{v^2}{130}
$$
در این فرمول $v$ سرعت وسیلۀ نقلیه قبل از ترمز گرفتن در واحد کیلومتر بر ساعت، و $t$ زمان عکس العمل راننده قبل از اینکه ترمز را بکار گیرد در واحد ثانیه می باشد.

فرض کنید که مدت زمان عکس العمل رانندۀ یک وسیلۀ نقلیه برابر با $1.5 \text{ s}$ باشد. تابعی بنویسید که فاصلۀ توقف، $d$، این وسیلۀ نقلیه و راننده را به شکل تابعی از سرعت پیش ترمز، $v$، مدلسازی کند.
جدولی از مقادیر بسازید و نمودار این تابع را با استفاده از دامنۀ $0 \le v \le 200$ ترسیم کنید.
آیا هنگامی که سرعت این وسیلۀ نقلیه دوبرابر می شود، فاصلۀ توقف نیز دوبرابر می شود؟ از جدول و نمودارتان برای توضیح این مورد استفاده کنید.
فرض کنید که در حال نوشتن مقاله ای برای روزنامه یا مجله ای دربارۀ رانندگی ایمن هستید. استدلالی بنویسید که هدفش متقاعد کردن رانندگان برای کاهش سرعت باشد. از نمودارتان و سایر نتایج برای تایید کردن موردتان استفاده کنید.

پاسخ

$$
d(v)=\frac{1.5v}{3.6}+\frac{v^2}{130}
$$
خیر، بیش از دوبرابر می شود.
هنگامی که $v$ از $25 \frac{\text{km}}{\text{h}}$ به $50 \frac{\text{km}}{\text{h}}$ می رسد، فاصلۀ توقف با فاکتوری از $\frac{40}{15}=2.67$ افزایش می یابد، و هنگامی که سرعت از $50 \frac{\text{km}}{\text{h}}$ به $100 \frac{\text{km}}{\text{h}}$ می رسد، فاصلۀ توقف با فاکتوری از $\frac{119}{40}=2.98$ افزایش می یابد. بنابراین، فاصلۀ توقف با فاکتوری بزرگتر از دو، افزایش می یابد.
با استفاده از جدول مقادیر یا نمودار اشاره کنید که فاصلۀ توقف با فاکتوری بزرگتر از دو افزایش می یابد. بنابراین مهم است که رانندگان توجه داشته باشند در سرعتهای بالاتر، فاصلۀ شان با خودروی جلویی را بیشتر کنند تا در صورت توقف ناگهانی زمان و فاصلۀ کافی برای توقف امن بدون تصادف و حادثه را داشته باشند.