نویسنده : امیر انصاری

1. یک مجموعه از توابع برای بخشی از خانوادۀ توابع که با \(f(x)=k(x^2+4x+3)\) بنویسید که در آن \(k=1,2,3\) باشد. هر معادله را به نحوی ساده کنید که در شکل استاندارد باشد.
   
2. با استفاده از دامنۀ محدود شدۀ \(\{x| 0 \le x \le 4, x \in R \}\)، نمودار این توابع را در صفحۀ یکسانی ترسیم کنید.
   
3. توصیف کنید که چگونه این نمودارها به یکدیگر مرتبط هستند. چگونه مقادیر \(y\) به نقاط موجود بر روی هر نمودار با مقادیر \(x\) یکسان مرتبط هستند؟
   
4. اگر \(k=4\) و \(k=0.5\)، پیش بینی کنید نمودار به چه شکلی خواهد بود. در هر مورد نمودار را ترسیم کنید تا درستی پیش بینی تان را بیازمایید.
   
5. پیش بینی کنید برای مقادیر منفی \(k\)، این نمودار به چه شکلی خواهد بود.
   
6. اگر \(k=0\)، نمودار به چه شکلی خواهد بود؟
   
7. توضیح دهید چگونه اعضای خانوادۀ توابعی که با \(f(x)=k(x^2+4x+3)\) تعریف شده اند، برای تمامی مقادیر \(k\) به یکدیگر مرتبط می باشند.
   

پاسخ

1. $$
   f(x)=\color{red}{1}(x^2+4x+3)\\
   f(x)=x^2+4x+3\\
   \text{ }\\[2ex]
   f(x)=\color{red}{2}(x^2+4x+3)\\
   f(x)=2x^2+8x+6\\
   \text{ }\\[2ex]
   f(x)=\color{red}{3}(x^2+4x+3)\\
   f(x)=3x^2+12x+9
   $$
   
2. 
   
   
3. این نمودارها دارای شکل یکسانی می باشند، منحنی های رو به بالا هستند که میزان بالا رفتن آنها مضربی از نمودار اول می باشد. مقادیر \(y\) برای هر مقدار \(x\)، مضرب های یکدیگر می باشند.
   
   
4. اگر \(k=4\)، نمودار آن با عرض از مبدأیی آغاز می شود که \(4\) برابر بزرگتر از عرض از مبدأ نمودار اول باشد و با مقادیری از \(y\) افزایش می یابد که \(4\) برابر بزرگتر از مقادیر \(y\) تابع اول باشند.
   اگر \(k=0.5\)، نمودار آن با عرض از مبدأیی آغاز می شود که \(\frac{1}{2}\) عرض از مبدأ اصلی باشند و با مقادیری از \(y\) افزایش می یابد که \(\frac{1}{2}\) مقادیر اصلی برای هر \(x\) باشند.
   
   
   
5. برای مقادیر \(k\) منفی، نمودار با یک منحنی نرم رو به کاهش بر روی محور \(x\) بازتاب می یابد. هر مقدار \(y\) مضربی منفی از مقدار اصلی \(y\) برای هر مقدار \(x\) خواهد بود.
   
   
   
6. نمودار خطی بر روی محور \(x\) خواهد بود.
   
   
7. هر عضو از خانوادۀ توابع \(f(x)=k(x^2+4x+3)\) دارای مقادیری از \(y\) می باشد که مضرب هایی از تابع اصلی برای هر مقدار \(x\) متناظر می باشند.