در هر کدام از توابع زیر، مقدار ماکزیمم یا مینیمم، و مقدار \(x\) که این ماکزیمم یا مینیمم در آن رخ می دهد را تعیین کنید.

1. $$
   y=x^2+6x-2
   $$
   
2. $$
   y=3x^2-12x+1
   $$
   
3. $$
   y=-x^2-10x
   $$
   
4. $$
   y=-2x^2+8x-3
   $$
   

پاسخ

برای تعیین مقدار مینیمم یا ماکزیمم، ابتدا با روش کامل کردن مربع، هر عبارت درجه دوم را به شکل رأس، \(y=a(x-p)^2+q\)، می بریم. سپس با توجه به مقدار \(a\)، تعیین می کنیم که جهت باز شدنِ سهمی رو به بالا یا رو به پایین است، در این حالت مقدار ماکزیمم یا مینیمم معادل \(q\) خواهد بود و مقدار \(p\) معادل مقدار \(x\) ای خواهد بود که مینیمم یا ماکزیمم در آن رخ می دهد.

1. $$
   y=x^2+6x-2\\
   y=(x^2+6x+9-9)-2\\
   y=(x^2+6x+9)-9-2\\
   y=(x+3)^2-11
   $$
   از آنجا که \(a \gt 0\)، این نمودار دارای مقدار مینیمم \(-11\) در \(x=-3\) می باشد.
   
   
2. $$
   y=3x^2-12x+1\\
   y=3x^2-12x+1\\
   y=3(x^2-4x)+1\\
   y=3(x^2-4x+4-4)+1\\
   y=3 \bigl( (x-2)^2 -4 \bigr) +1\\
   y = 3 \bigl( (x-2)^2-4 \bigr)+1\\
   y = 3 (x-2)^2 - 12 +1\\
   y = 3(x-2)^2 - 11
   $$
   از آنجا که \(a \gt 0\)، این نمودار دارای مقدار مینیمم \(-11\) در \(x=2\) می باشد.
   
   
3. $$
   y=-x^2-10x\\
   y=-(x^2+10x)\\
   y=-(x^2+10x+25-25)\\
   y=-\bigl( (x^2+10x+25)-25 \bigr)\\
   y = - \bigl( (x+5)^2 -25 \bigr)\\
   y=-(x+5)^2+25
   $$
   از آنجا که \(a \lt 0\)، این نمودار دارای مقدار ماکزیمم \(25\) در \(x=-5\) می باشد.
   
   
4. $$
   y=-2x^2+8x-3\\
   y=-2(x^2-4x)-3\\
   y=-2(x^2-4x+4-4)-3\\
   y=-2 \bigl( (x^2-4x+4) -4 \bigr) -3\\
   y = -2 \bigl( (x-2)^2 -4 \bigr) -3\\
   y = -2 (x-2)^2 +8-3\\
   y = -2 (x-2)^2 + 5
   $$
   از آنجا که \(a \lt 0\)، این نمودار دارای مقدار ماکزیمم \(5\) در \(x=2\) می باشد.