کد مطلب : 10223

افزودن به لیست علاقه مندی ها

در هر کدام از توابع زیر، مقدار ماکزیمم یا مینیمم را تعیین کنید.

1. $$
   f(x)=x^2+5x+3
   $$
   
2. $$
   f(x)=2x^2-2x+1
   $$
   
3. $$
   f(x)=-0.5x^2+10x-3
   $$
   
4. $$
   f(x)=3x^2-4.8x
   $$
   
5. $$
   f(x)=-0.2x^2+3.4x+4.5
   $$
   
6. $$
   f(x)=-2x^2+5.8x-3
   $$
   

پاسخ

برای تعیین مقدار مینیمم یا ماکزیمم، با روش کامل کردن مربع، تابع درجه دوم را به شکل رأس می بریم و در آنجا با توجه به مقادیر \(a\) و \(q\) در شکل \(f(x)=a(x-p)^2+q\)، مقدار ماکزیمم یا مینیمم را تعیین می کنیم.

1. $$
   f(x)=x^2+5x+3\\
   f(x)=(x^2+5x)+3\\
   f(x)=(x^2+5x+6.25-6.25)+3\\
   f(x)=(x^2+5x+6.25)-6.25+3\\
   f(x)=(x+2.5)^2-6.25+3\\
   f(x)=(x+2.5)^2-3.25
   $$
   از آنجا که \(a \gt 0\)، این سهمی دارای مقدار مینیمم \(-3.25\) در \(x=-2.5\) می باشد.
   
   
2. $$
   f(x)=2x^2-2x+1\\
   f(x)=2(x^2-x)+1\\
   f(x)=2(x^2-x+0.25-0.25)+1\\
   f(x)=2 \bigl( (x^2-x+0.25)-0.25 \bigr)+1\\
   f(x)=2 \bigl( (x-0.5)^2 - 0.25 \bigr) + 1\\
   f(x)= 2 (x-0.5)^2 - 0.5 + 1 \\
   f(x)= 2 (x-0.5)^2 + 0.5
   $$
   از آنجا که \(a \gt 0\)، این سهمی دارای مقدار مینیمم \(0.5\) در \(x=0.5\) می باشد.
   
   
3. $$
   f(x)=-0.5x^2+10x-3\\
   f(x)=-0.5(x^2-20x)-3\\
   f(x)=-0.5(x^2-20x+100-100)-3\\
   f(x)=-0.5 \bigl( (x^2-20x+100)-100 \bigr)-3\\
   f(x)= -0.5 \bigl( (x-10)^2 -100 \bigr)-3\\
   f(x)= -0.5 (x-10)^2 + 50 - 3\\
   f(x)=-0.5(x-10)^2+47
   $$
   از آنجا که \(a \lt 0\)، این نمودار دارای مقدار ماکزیمم \(47\) در \(x=10\) می باشد.
   
   
4. $$
   f(x)=3x^2-4.8x\\
   f(x)=3(x^2-1.6x)\\
   f(x)=3(x^2-1.6x+0.64-0.64)\\
   f(x)=3 \bigl( (x^2-1.6x+0.64)-0.64 \bigr)\\
   f(x)= 3 \bigl( (x-0.8)^2 - 0.64 \bigr)\\
   f(x)= 3(x-0.8)^2 - 1.92
   $$
   از آنجا که \(a \lt 0\)، این سهمی دارای مقدار مینیمم \(-1.92\) در \(x=0.8\) می باشد.
   
   
5. $$
   f(x)=-0.2x^2+3.4x+4.5\\
   f(x)=-0.2(x^2-17x)+4.5\\
   f(x)=-0.2(x^2-17x+72.25-72.25)+4.5\\
   f(x)=-0.2\bigl( (x^2-17x+72.25)-72.25 \bigr)+4.5\\
   f(x)=-0.2 \bigl( (x-8.5)^2 - 72.25 \bigr) + 4.5\\
   f(x)= -0.2(x-8.5)^2+14.45+4.5\\
   f(x)=-0.2(x-8.5)^2+18.95
   $$
   از آنجا که \(a \lt 0\)، این نمودار دارای مقدار ماکزیمم \(18.95\) در \(x=8.5\) می باشد.
   
   
6. $$
   f(x)=-2x^2+5.8x-3\\
   f(x)=-2(x^2-2.9x)-3\\
   f(x)=-2(x^2-2.9x+2.1025-2.1025)-3\\
   f(x)=-2 \bigl( (x^2-2.9x+2.1025)-2.1025 \bigr)-3\\
   f(x)= -2 \bigl( (x-1.45)^2 - 2.1025 \bigr) - 3\\
   f(x)= -2 (x-1.45)^2 + 4.205 - 3\\
   f(x)= -2 (x-1.45)^2 + 1.205
   $$
   از آنجا که \(a \lt 0\)، این نمودار دارای مقدار ماکزیمم \(1.205\) در \(x=1.45\) می باشد.