ریشه های \(ax^2+bx+c=0\) را با روش کامل کردن مربع تعیین کنید. آیا می توانید از نتایج بدست آمده در اینجا برای حل کردن هر معادلۀ درجه دوم دیگر نیز استفاده کنید؟ توضیح دهید.

پاسخ

$$
ax^2+bx+c=0\\
ax^2+bx=-c\\
x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\\
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\\
\bigl( x+\frac{b}{2a} \bigr)^2 = \frac{-4ac+b^2}{4a^2}\\
x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\
x=-\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
نتیجۀ بدست آمده فرمول حل معادلات درجه دوم می باشد. شما می توانید از این فرمول برای حل کردن هر معادلۀ درجه دوم دیگر که دارای ریشه های حقیقی باشد استفاده کنید.
اگر در زیر رادیکال به مقداری منفی برسید بدین معناست که پاسخ ها اعداد حقیقی نیستند و در نتیجه این فرمول در آن حالت راهگشا نخواهد بود.