نویسنده : امیر انصاری

1. جمع \(n\) جملۀ اول سری حسابی \(6+10+14+...\) برابر با \(3870\) می باشد. مقدار \(n\) را تعیین کنید.
   
2. جمع \(n\) جملۀ متوالی اعداد طبیعی (natural numbers) برابر با \(780\) می باشد. مقدار \(n\) را تعیین کنید.
   

پاسخ

1. مقادیر \(S_n=3870\)، \(t_1=6\)، و \(d=4\) را در فرمول جایگذاری کنید.
   $$
   S_n=\frac{n}{2} \bigl( 2t_1+(n-1)d \bigr)\\
   \color{red}{3870} = \frac{n}{2} \bigl( 2(\color{red}{6})+(n-1)\color{red}{4} \bigr)\\
   7740=n(4n+8)\\
   7740=4n^2+8n\\
   1935 = n^2+2n\\
   1935+1 = n^2+2n+1\\
   1936 = (n+1)^2\\
   \pm 44 = n+1\\
   n = -1 \pm 44\\
   \text{ }\\[2ex]
   n=-1+44\\
   n=43\\
   \text{ }\\[2ex]
   n=-1-44\\
   n=-45
   $$
   از آنجا که تعداد جملات موجود در یک سری نمی توانند عددی منفی باشند، \(n=-45\) یک ریشۀ اضافی می باشد. در نتیجه در این دنباله \(43\) جمله وجود دارد.
   
   
2. مقادیر \(S_n=780\)، \(t_1=1\)، و \(d=1\) را در فرمول جایگذاری کنید.
   $$
   S_n=\frac{n}{2} \bigl( 2t_1+(n-1)d \bigr)\\
   \color{red}{780}=\frac{n}{2} \bigl( 2(\color{red}{1})+(n-1)\color{red}{1} \bigr)\\
   1560=n(n+1)\\
   1560=n^2+n\\
   1560+0.25=n^2+n+0.25\\
   1560.25=(n+0.5)^2\\
   \pm 44 = n+0.5\\
   n=-0.5 \pm 39.5\\
   \text{ }\\[2ex]
   n=-0.5+39.5\\
   n=39\\
   \text{ }\\[2ex]
   n=-0.5-39.5\\
   n=-40
   $$
   از آنجا که تعداد جملات نمی تواند عددی منفی بشد، پاسخ \(n=-40\) یک ریشۀ اضافی می باشد. در این سری \(39\) جمله وجود دارد.