نویسنده : امیر انصاری

1. معادلۀ \(6x^2-14x+8=0\) را با روش های زیر حل کنید:
   
   
   
   1. ترسیم نمودار تابع متناظر این معادله
      
      
      
      
   2. فاکتورگیری
      
   3. کامل کردن مربع
      
   4. استفاده از فرمول حل معادلۀ درجه دوم
      
2. کدام استراتژی را ترجیح می دهید؟ دلایلتان را توجیه کنید.
   

پاسخ

1. 1. نمودار تابع \(f(x)=6x^2-14x+8\) را ترسیم کنید و سپس طول از مبدأهای آن را تعیین کنید. طول از مبدأهای این تابع برابر با \(1\) و تقریباً \(1.33\) می باشند. بنابراین ریشه های این معادله برابر با \(1\) و مقدار تقریبیِ \(1.33\) می باشند.
      
      
      
   2. این معادله را فاکتورگیری کنید.
      $$
      6x^2-14x+8=0\\
      3x^2-7x+4=0\\
      (3x-4)(x-1)=0\\
      \text{ }\\[2ex]
      3x-4=0\\
      3x=4\\
      x=\frac{4}{3}\\
      \text{ }\\[2ex]
      x-1=0\\
      x=1
      $$
      
   3. روش کامل کردن مربع را بکار بگیرید.
      $$
      6x^2-14x+8=0\\
      x^2-\frac{7}{3}x+\frac{4}{3}=0\\
      x^2-\frac{7}{3}x=-\frac{4}{3}\\
      x^2-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{49}{36}\\
      \bigl( x-\frac{7}{6} \bigr)^2 = \frac{1}{36}\\
      x-\frac{7}{6}=\pm\sqrt{\frac{1}{36}}\\
      x=\frac{7}{6} \pm \frac{1}{6}\\
      \text{ }\\[2ex]
      x=\frac{7}{6}+\frac{1}{6}\\
      x=\frac{8}{6}\\
      x=\frac{4}{3}\\
      \text{ }\\[2ex]
      x=\frac{7}{6}-\frac{1}{6}\\
      x=\frac{6}{6}\\
      x=1
      $$
      
   4. از فرمول حل معادلۀ درجه دوم استفاده کنید. در \(6x^2-14x+8=0\) داریم: \(a=6\)، \(b=-14\)، و \(c=8\)
      $$
      x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
      x=\frac{-(\color{red}{-14}) \pm \sqrt{(\color{red}{-14})^2-4(\color{red}{6})(\color{red}{8})}}{2(\color{red}{6})}\\
      x=\frac{14 \pm \sqrt{196-192}}{12}\\
      x=\frac{14 \pm \sqrt{4}}{12}\\
      x=\frac{14 \pm 2}{12}\\
      \text{ }\\[2ex]
      x=\frac{14+2}{12}\\
      x=\frac{16}{12}\\
      x=\frac{4}{3}\\
      \text{ }\\[2ex]
      x=\frac{14-2}{12}\\
      x=\frac{12}{12}\\
      x=1
      $$
      
   درست آزمایی پاسخ های بدست آمده در روش های \(\text{ii}\)، \(\text{iii}\)، و \(\text{iv}\):
   \(x=\frac{4}{3}\) و \(x=1\) را در معادلۀ \(6x^2-14x+8=0\) جایگذاری کنید.
   $$
   x=\frac{4}{3}\\
   6x^2-14x+8=0\\
   6\bigl( \color{red}{\frac{4}{3}} \bigr)^2 -14 \bigl( \color{red}{\frac{4}{3}} \bigr)+8=0\\
   6\bigl( \frac{16}{9} \bigr) - \frac{56}{3}+\frac{24}{3}=0\\
   \frac{32}{3}-\frac{56}{3}+\frac{24}{3}=0\\
   -\frac{24}{3}+\frac{24}{3}=0\\
   0= 0 \text{ ✔️}
   $$
   $$
   x=1\\
   6x^2-14x+8=0\\
   6(\color{red}{1})^2-14(\color{red}{1})+8=0\\
   6-14+8=0\\
   -8+8=0\\
   0=0 \text{ ✔️}
   $$
   هر دو پاسخ بدست آمده صحیح می باشند. ریشه های این معادله برابر با \(\frac{4}{3}\) و \(1\) می باشند.
   
   
2. در حالیکه هر چهار روش پاسخ های یکسانی را تولید می کنند، احتمالاً فاکتورگیری برای این معادله کارآمدترین استراتژی باشد، زیرا فاکتورگیری این معادلۀ درجه دوم کار سختی نیست. اگر این معادلۀ درجه دوم قابل فاکتورگیری نباشد، ترسیم نمودار به کمک فناوری یا استفاده از فرمول حل معادلۀ درجه می توانند ترجیح داده شوند. استفاده از فرمول حل معادلۀ درجه دوم همواره پاسخ های دقیقی را تولید می کند.
   

حالا نوبت شماست