مدت زمانی در واحد ثانیه، \(t\)، که طول می کشد تا یک شیء سقوط کند، به ارتفاع آن در واحد متر، \(h\)، مرتبط است. فرمول تعیین این مدت زمان در کرۀ ماه برابر با \(t_m = \sqrt{\frac{h}{1.8}}\) و در کرۀ زمین برابر با \(t_E = \sqrt{\frac{h}{4.9}}\) می باشد. شیء یکسانی در ارتفاع یکسانی در کرۀ زمین و در کرۀ ماه سقوط می کند. اگر اختلاف بین مدت زمانی که طول می کشد تا این شیء سقوط کند برابر با \(0.5 \text{ s}\) باشد، ارتفاعی را که شیء از آن سقوط کرده است، تعیین کنید. پاسختان را به نزدیکترین دهم متر بیان کنید.

پاسخ

$$
t_m - t_E = 0.5\\
\sqrt{\frac{h}{1.8}} - \sqrt{\frac{h}{4.9}} = 0.5\\
\biggl( \sqrt{\frac{h}{1.8}} - \sqrt{\frac{h}{4.9}} \biggr)^2 = 0.5^2\\
\frac{h}{1.8} - 2 \sqrt{\frac{h}{1.8}} \biggl( \sqrt{\frac{h}{4.9}} \biggr) + \frac{h}{4.9} = 0.25\\
\frac{6.7h}{8.82} - 2 \sqrt{\frac{h^2}{8.82}} = 0.25\\
\frac{6.7h}{8.82} - 2h \sqrt{\frac{1}{8.82}} = 0.25\\
\frac{6.7h}{8.82} - 2h \frac{\sqrt{8.82}}{8.82} = 0.25\\
h \biggl( \frac{6.7-2\sqrt{8.82}}{8.82} \biggr) = 0.25\\
h = 0.25 \biggl( \frac{8.82}{6.7-2\sqrt{8.82}} \biggr) \\
h=2.900...
$$
این شیء از ارتفاع \(2.9 \text{ m}\) سقوط کرده است.