فاصله تا خط افق در واحد کیلومتر، \(d\)، از یک ارتفاع خاص در واحد کیلومتر، \(h\)، را می توان با فرمول \(d = \sqrt{2rh + h^2}\) مدلسازی کرد. در این فرمول \(r\) نشان دهندۀ شعاع کرۀ زمین در واحد کیلومتر می باشد. فضاپیمایی در فاصلۀ \(200 \text{ km}\) از سطح زمین در نقطۀ \(S\) قرار دارد. اگر فاصله تا خط افق از این فضاپیما برابر با \(1609 \text{ km}\) باشد، شعاع کرۀ زمین چقدر می باشد؟

پاسخ

\(h=200\) و \(d=1609\) را در فرمول جایگذاری کنید و آن را برای بدست آوردن \(r\) حل کنید.
$$
d=\sqrt{2rh+h^2}\\
\color{red}{1609} = \sqrt{2r (\color{red}{200}) + (\color{red}{200})^2}\\
1609 = \sqrt{400r+40000}\\
1609 = \sqrt{400 (r + 100)}\\
1609 = 20 \sqrt{r+100}\\
\frac{1609}{20} = \sqrt{r+100}\\
\frac{1609}{20} = \sqrt{r + 100}\\
80.45^2 = (\sqrt{r+100})^2\\
6472.2025 = r + 100\\
6372.2025 = r
$$
شعاع کرۀ زمین تقریباً برابر با \(6372.2 \text{ km}\) می باشد.