نویسنده : امیر انصاری

1. با استفاده از قلم و کاغذ هر کدام از مجموعه زوج های مرتب را در شبکۀ یکسانی ترسیم کنید. نمودار این دو تابع درجه دوم را ترسیم کنید.
   
2. پاسخ دستگاه معادلاتی که شامل این دو تابع درجه دوم باشد را تخمین بزنید.
   
3. برای هر کدام از این توابع یک معادلۀ درجه دوم تعیین کنید و یک دستگاه معادلات درجه دوم-درجه دوم را با این معادلات مدل سازی کنید.
   
4. این دستگاه معادلات را با روش جبری حل کنید. پاسخ این دستگاه را با تخمین مرحلۀ \(b\) مقایسه کنید.
   

پاسخ

1. شکل زیر نتیجۀ این ترسیم ها را نشان می دهد.
   
   
2. برآورد ما \((-1.3,3)\) می باشد.
   
   
3. با توجه به اینکه مختصات رأس و همچنین مختصات دست کم یک نقطۀ دیگر را داریم، می توانیم تابع درجه دوم را از روی این اطلاعات در شکل رأس، \(y=a(x-p)^2+q\)، بدست آوریم.
   تابع اول:
   $$
   y=a(x-p)^2 + q\\
   (p,q) \to (0,0)\\
   y=a(x-0)^2 + 0\\
   y=ax^2
   $$
   هم اینک با جایگذاری یکی از مختصات ها، مثلاً \((1,2)\)، در این تابع و سپس حل کردن آن برای بدست آوردن \(a\)، می توانیم مقدار \(a\) را مشخص سازیم.
   $$
   y=ax^2\\
   (x,y) \to (1,2)\\
   \color{red}{2}=a\color{red}{1}^2\\
   2=a
   $$
   در نتیجه تابع اول ما \(y=2x^2\) می باشد.
   تابع دوم:
   با روش مشابهی درخواهیم یافت که تابع دوم ما \(y=(x+3)^2\) می باشد.
   
   دستگاه معادلات:
   $$
   y=x^2\\
   y=(x+3)^2
   $$
   
4. برای حل کردن این دستگاه از روش جایگزینی استفاده می کنیم.
   $$
   x^2 = (x+3)^2\\
   x^2 = x^2+6x+9\\
   x^2-6x-9=0\\
   x \approx -1.24 \text{ or } x \approx 7.24
   $$
   با جایگذاری مقادیر \(x\) در یکی از معادله های دستگاه، مقدار \(y\) متناظر آن ها را نیز بدست می آوریم:
   $$
   (-1.24,3.09)\\
   (7.24,104.91)
   $$
   نتیجۀ تخمین ما یکی از پاسخ ها را به خوبی نشان می داد. اما پاسخ دیگر در تخمین اصلاً مشخص نبود. اگر می خواستیم نقطۀ دوم را هم تخمین بزنیم باید ترسیم های بیشتری انجام می دادیم.
   نکته: این مسئله بخوبی نشان داد که روش جبری بسیار دقیق تر و مطمئن تر است و ما را سریع تر به پاسخ ها می رساند.