هنگامی که یک آتشفشان فوران می کند، تکه های گدازه ها از آن به سمت آسمان پرتاب می شوند. از نقطه ای که یک تکه گدازه در آسمان منفجر می شود، می توان با تابع زیر ارتفاع آن در واحد متر، \(h\)، را نسبت به مسافت افقی پیموده شده توسط آن در واحد متر، \(x\)، مدل سازی کرد.





$$
h(x)=-\frac{4.9}{(v_0 \cos \theta)^2}x^2 + (\tan \theta)x + h_0
$$
در این تابع \(v_0\) سرعت سیر اولیۀ (initial velocity) آن تکه گدازه در واحد متر بر ثانیه؛ \(\theta\) اندازۀ زاویه ای که آن شیء نسبت به این مسیر افقی در آغاز دارد در واحد درجه؛ و \(h_0\) ارتفاع اولیه آن تکه گدازه در واحد متر می باشند.

1. ارتفاع قلۀ یک کوه آتشفشان \(2500\) متر می باشد. اگر یک تکه گدازه از وسط این قله با زاویۀ \(45^{\circ}\) و در سرعت \(60\) متر بر ثانیه منفجر شود، تایید کنید که تابع زیر به صورت تقریبی ارتفاع این گدازه را نسبت به مسیر افقی پیموده شده توسط آن مدل سازی می کند.
   $$
   h(x)=-0.003x^2+x+2500
   $$
   همچنین تایید کنید که تکه گدازه ای که با زاویۀ \(60^{\circ}\) و در سرعت \(60\) متر بر ثانیه منفجر می شود را می توان با تابع زیر به صورت تقریبی مدل سازی کرد.
   $$
   h(x)=-0.005x^2 + 1.732x+2500
   $$
   
2. این دستگاه را حل کنید.
   $$
   h(x)=-0.003x^2 + x+ 2500\\
   h(x)= -0.005x^2+ 1.732x+2500
   $$
   
3. پاسخ تان و همچنین شرایطی که برای برقرار بودن آن پاسخ لازم است را تفسیر کنید.
   

پاسخ

1. در مورد تکه گدازۀ اول، مقادیر \(V_0 = 60\)، \(\theta = 45^{\circ}\) و \(h_0=2500\) را در تابع اصلی جایگذاری کنید.
   $$
   h(x)=-\frac{4.9}{(v_0 \cos \theta)^2}x^2 + (\tan \theta)x + h_0\\
   h(x)=-\frac{4.9}{(\color{red}{60} \cos \color{red}{45^{\circ}})^2}x^2 + (\color{red}{\tan 45^{\circ}})x + \color{red}{2500}\\
   h(x) \approx -0.003x^2 + x+ 2500
   $$
   در مورد تکه گدازۀ دوم، مقادیر \(V_0 = 60\)، \(\theta = 60^{\circ}\) و \(h_0=2500\) را در تابع اصلی جایگذاری کنید. بعد از جایگذاری و ساده سازی به نتیجۀ زیر خواهیم رسید.
   $$
   h(x) \approx = -0.005x^2 + 1.732x + 2500
   $$
   
2. اگر این دستگاه را با روش جایگزینی حل کنید به پاسخ های زیر می رسید.
   $$
   (0,2500)\\
   (366,2463.13)
   $$
   
3. این دو پاسخ نشان دهندۀ محلی هستند که این دو تکه گدازه در فاصلۀ افقی و همچنین در ارتفاع یکسانی از قلۀ آتشفشان قرار دارند. در صورتی که همزمان در این موقعیت قرار بگیرند به یکدیگر اصابت خواهند نمود.