در این تمرین دامنه و برد یک تابع را پیدا می کنیم. ضمن این تمرین با مفاهیم دامنه و برد تابع آشنا می شوید و همچنین چگونگی یافتن دامنۀ یک تابع و چگونگی یافتن بُرد یک تابع را می آموزید.

سوال:

دامنه و بُرد تابع زیر را بیابید؟
\(f(x)=1- \sqrt{x}\)

پاسخ کوتاه:

دامنه: \([0,\infty)\)
بُرد: \((-\infty,1]\)

راهنمایی در مورد مفاهیم این تمرین

• دامنه و برد یک تابع و چگونگی یافتن آنها

راه حل 1:

در تابع \(f(x)=1- \sqrt{x}\) ما کسری نداریم که \(x\) در مخرجش قرار گرفته باشد، اما رادیکال داریم و باید بررسی کنیم که مقدار زیر رادیکال منفی نگردد. این یعنی \(x\) می تواند \(0\) و مقادیر بزرگتر از \(0\) را شامل گردد و عددی منفی نمی تواند در دامنۀ این تابع وجود داشته باشد. بنابراین دامنۀ این تابع \([0,\infty)\) می باشد.

برای یافتن بُرد این تابع مقادیری از \(x\) را که در دامنۀ تابع می گنجند تست می کنیم. کوچکترین مقدار \(x\) برابر با صفر است و با جایگذاری آن در تابع به خروجی \(1\) می رسیم. در ادامه به تست چند مقدار دیگر دقت کنید:
\(f(1)=1-\sqrt{1} = 1-1=0 \\
f(2)=1-\sqrt{2} \approx -0.41 \\
f(3)=1-\sqrt{3} \approx -0.73 \\
f(4000)=1-\sqrt{4000} \approx -62.24\)

همانطور که می بینید هر چقدر مقادیر \(x\) بزرگتر می شوند خروجی عددی منفی و کوچک می شود، در نتیجه ماکزیمم برد این تابع همان عدد \(1\) خواهد بود که با \(x=0\) بدست آوردیم. بنابراین برد این تابع \((-\infty,1]\) می باشد.

راه حل 2:

\(\sqrt{x}\) فقط برای مقادیر حقیقی مثبت تعریف شده است، بنابراین دامنۀ این تابع \([0, \infty)\) خواهد بود.

از آنجایی که به ازاء اعداد حقیقی مثبت \(x\) داریم \(\sqrt{x} \ge 0\)، در این تابع عدد مثبتی را از \(1\) تفریق خواهیم کرد. برد این تابع \((-\infty, 1]\) می باشد.

راه حل 3:

می توانیم نمودار این تابع را ترسیم کنیم.

برای بزرگنمایی تصویر روی آن کلیک کنید
همانطور که در نمودار تابع مشهود است دامنه تابع شامل عدد \(0\) و اعداد بزرگتر از آن تا بی نهایت است، یعنی \([0,\infty]\) ،
و برد تابع نیز از عدد \(1\) آغاز می شود و رو به منفی بی نهایت پیش می رود، یعنی \((-\infty,1]\)

راه حل 4:

تمامی مقادیر \(x\) این تابع باید مثبت باشند. اگر مقادیر منفی را در این تابع جایگذاری کنید نتیجه اش تولید یک عدد موهومی \(\text{(imaginary number)}\) می شود. بنابراین دامنۀ این تابع \([0, \infty)\) است.

برای بدست آوردن برد این تابع، اولین مقدار دامنه را در تابع جایگذاری کنید، در اینجا اولین مقدار دامنه \(0\) است، و مقدار تابع را برای آن بدست آورید. خروجی تابع \(1\) خواهد بود. هر مقدار دیگری از تابع، همینطور که \(x\) به بی نهایت نزدیک شود، عددی منفی خواهد بود. دلیل اینکه منفی هستند اینست که از \(1\) تفریق می شوند. در نتیجه برد این تابع \((-\infty, 1)\) می باشد.