در این تمرین دامنه و برد یک تابع را پیدا می کنیم. ضمن این تمرین با مفاهیم دامنه و برد تابع آشنا می شوید و همچنین چگونگی یافتن دامنۀ یک تابع و چگونگی یافتن بُرد یک تابع را می آموزید.

سوال:

دامنه و بُرد تابع زیر را بیابید؟
$$G(t) = \frac{2}{t^2 - 16}$$

پاسخ کوتاه:

دامنه: \((-\infty, -4) \cup (-4,4) \cup (4,\infty)\)
برد: \((-\infty, -\frac{1}{8}) \cup (0, \infty)\)

راهنمایی در مورد مفاهیم این تمرین

• دامنه و برد یک تابع و چگونگی یافتن آنها

راه حل 1:

مخرج یک کسر هرگز نباید صفر باشد:
$$t^2 - 16 \ne 0 \\
(t - 4)(t+4) \ne 0 \\
t \ne 4 \text{ and } t \ne -4$$
بنابراین دامنۀ این تابع شامل تمامی اعداد حقیقی به جز \(4\) و \(-4\) می باشد،
یعنی \((-\infty, -4) \cup (-4,4) \cup (4,\infty)\).

خروجی تابع \(G(t)\) می تواند هر مقداری غیر از صفر باشد. دلیل اینکه خروجی این تابع نمی تواند هرگز صفر باشد اینست که صورت آن یک عدد ثابت غیر از صفر است و مخرجش نیز که نمی تواند صفر باشد، پس هرگز حالتی پیش نمی آید که خروجی این تابع صفر گردد.
بنابراین برد این تابع \((-\infty, 0) \cup (0, \infty)\) است.
نکته: در ادامه و در راه حلی که از نمودار استفاده کرده ایم مشاهده خواهید کرد که برد این تابع را دقیقتر از این هم می توانیم مشخص سازیم.

راه حل 2:

نمودار تابع \(G(t) = \frac{2}{t^2 - 16}\) را ترسیم می کنیم:

برای بزرگنمایی تصویر روی آن کلیک کنید
از روی نمودار می توانیم ببینیم که در \(x=4\) و در \(x=-4\) این تابع تعریف نشده است. بنابراین دامنۀ این تابع \((-\infty, -4) \cup (-4,4) \cup (4,\infty)\) است.

از روی تصویر می توانیم ببینیم که برد این تابع شامل تمامی مقادیر حقیقی به جز \(0\) می باشد. یعنی برد تابع \((-\infty, 0) \cup (0, \infty)\) است. اما بیایید نمودار را بزرگنمایی کنیم و دقیقتر به مقادیر آن نگاه کنیم:

برای بزرگنمایی تصویر روی آن کلیک کنید
همانطور که در تصویر می بینید از جهت محور \(y\) منفی نمودار با \(0\) اندکی فاصله دارد، با زوم شدن بیشتر بر روی این فاصله و استخراج مقدار دقیقتری از آن (و البته کمی عملیات جبری که بدلیل نیاز به مشتق گیری فعلاً به آن اشاره نکرده ایم) به برد \((-\infty, -\frac{1}{8}) \cup (0, \infty)\) می رسیم.