در این تمرین دامنه و برد یک تابع را پیدا می کنیم. ضمن این تمرین با مفاهیم دامنه و برد تابع آشنا می شوید و همچنین چگونگی یافتن دامنۀ یک تابع و چگونگی یافتن بُرد یک تابع را می آموزید.

سوال:

دامنه و بُرد تابع زیر را بیابید؟
\(g(x)=\sqrt{x^2-3x}\)

پاسخ کوتاه:

دامنه: \((-\infty,0] \cup [3,\infty)\)
برد: \([0,\infty)\)

راهنمایی در مورد مفاهیم این تمرین

• دامنه و برد یک تابع و چگونگی یافتن آنها

راه حل 1:

ما فقط می توانیم جذر اعداد مثبت را بگیریم، بنابراین، \(x^2-3x \ge 0\) را برای بدست آوردن \(x\) حل می کنیم:
\(x(x-3) \ge 0\)
حاصلضرب این دو عدد، عددی مثبت می شود. این تنها زمانی شدنی است که هر دو عدد مثبت باشند یا اینکه هر دو منفی باشند. در ادامه هر دوی این حالات را بررسی می کنیم.

• اگر هر دو عدد مثبت باشند:
  \(x \ge 0\)
  و
  \(x-3 \ge 0 \to x \ge 3\)
  تمامی اعداد بزرگتر یا مساوی \(3\) هر دوی این معادلات را برآورده می سازند.
  
  
• اگر هر دو عدد منفی باشند:
  \(x \le 0\)
  و
  \(x - 3 \le 0 \to x \le 3\)
  تمامی اعداد کوچکتر یا مساوی \(0\) هر دوی این معادلات را برآورده می سازند.
  

بنابراین دامنۀ این تابع \((-\infty,0] \cup [3,\infty)\) است.

از آنجا که جذر همۀ اعداد مثبت می باشند، برد این تابع \([0,\infty)\) می باشد.

راه حل 2:

نمودار تابع \(g(x)=\sqrt{x^2-3x}\) را ترسیم می کنیم.

برای بزرگنمایی تصویر روی آن کلیک کنید
همانطور که در نمودار می توانید ببینید، مقادیر \(x\) این نمودار (یعنی دامنۀ تابع) شامل \(x \le 0\) و همینطور شامل \(x \ge 3\) می باشند. پس دامنۀ این تابع ترکیب این دو یعنی \((-\infty,0] \cup [3,\infty)\) است.

همچنین از روی نمودار به وضوح می توانید ببینید که مقادیر خروجی این تابع از \(0\) آغاز شده و در محور \(y\) ها تا بی نهایت بالا می روند. بنابراین بُرد این تابع \([0,\infty)\) است.