در این تمرین دامنه و برد یک تابع را پیدا می کنیم. ضمن این تمرین با مفاهیم دامنه و برد تابع آشنا می شوید و همچنین چگونگی یافتن دامنۀ یک تابع و چگونگی یافتن بُرد یک تابع را می آموزید.

سوال:

دامنه و بُرد تابع زیر را بیابید؟
\(f(x)=\sqrt{5x+10}\)

پاسخ کوتاه:

دامنه: \([-2, \infty)\)
برد: \([0,\infty)\)

راهنمایی در مورد مفاهیم این تمرین

• دامنه و برد یک تابع و چگونگی یافتن آنها

راه حل 1:

برای بدست آوردن دامنۀ این تابع دو چیز را باید بررسی کنیم. اول اینکه \(x\) در مخرج کسر نباشد، که در این تابع هیچ کسری نداریم و این مورد اول منتفی است. دوم اینکه عدد زیر رادیکال منفی نباشد. در این تابع یک رادیکال \((\sqrt{5x+10})\) داریم. برای بررسی اینکه مقدار زیر رادیکال عددی منفی نگردد از یک نامساوی استفاده می کنیم و آن را برای بدست آوردن \(x\) حل می کنیم:
$$5x+10 \ge 0 \\
5x \ge -10 \\
x \ge -\frac{10}{5} \\
x \ge -2$$
بنابراین دامنۀ این تابع \([-2, \infty)\) می باشد.

برای بدست آوردن برد این تابع مقادیری از دامنه را در تابع جایگذاری می کنیم:
$$f(-2)=\sqrt{5(-2)+10}= 0\\
f(0)=\sqrt{5(0)+10} \approx 3.16\\
f(5)=\sqrt{5(0)+10} \approx 5.91\\
f(1000)=\sqrt{5(1000)+10} \approx 70.78$$
همانطور که می بینید خروجی این تابع با مینیمم \(0\) آغاز می شود و همینطور رو به سمت مثبت بی نهایت پیش می رود، بنابراین برد این تابع \([0,\infty)\) است.

راه حل 2:

نمودار این تابع را ترسیم می کنیم.

برای بزرگنمایی تصویر روی آن کلیک کنید
همانطور که در نمودار مشهود است مقادیر ورودی این تابع (یعنی مقادیر \(x\)) از \(-2\) آغاز می شوند و تا مثبت بی نهایت ادامه می یابند. پس دامنۀ این تابع \([-2, \infty)\) است.

همچنین از روی تصویر می توانیم ببینیم که مقادیر خروجی این تابع (مقادیر \(y\)) از \(0\) آغاز می شوند و تا مثبت بی نهایت پیش می روند. پس برد این تابع \([0,\infty)\) است.