انتقال های افقی و عمودی در توابع: تمرین 13

در این آموزش به انتقال های افقی و عمودی (Horizontal and Vertical Translations) در توابع می پردازیم.

این آموزش بخشی از یک مجموعه آموزش می باشد که آموزش اول این مجموعه و فهرست آموزش های آن را می توانید در اینجا مشاهده کنید.

پرسش

معماران و طراحان معمولاً از انتقال ها (translations) در طراحی هایشان استفاده می کنند. تصویر زیر از یکی از خیابان های ایتالیا گرفته شده است.

با استفاده از پوشش صفحۀ مختصات آن، و همینطور نیم دایرۀ اصلی نشان داده شده، انتقال های تقریبی این نیم دایره ها را توصیف کنید.
اگر نیم دایرۀ موجود در سمت چپ و پایین این تصویر با تابع $y=f(x)$ تعریف شده باشد، معادلۀ تقریبی سه نیم دایرۀ دیگر را بیان کنید.

پاسخ

برای اینکه بهتر بتوانیم به نیم دایره ها اشاره کنیم در تصویر زیر آنها را شماره گذاری کرده ایم، و در ادامۀ حل این تمرین از این شماره ها برای ارجاع به نیم دایره ها استفاده می کنیم.

نکته: همانطور که در خود مسأله نیز اشاره شده است، اندازه ها به شکل تقریبی هستند و اگر چیزی که شما اندازه گیری کرده اید، اندکی متفاوت تر از اندازه های پاسخ ما باشد، ایرادی بر جواب شما وارد نیست. مهم اینست که کلیت مسأله انتقال را بخوبی درک کرده باشید تا در دنیای واقعی نیز بتوانید آن را بکار گیرید.

در اینجا نیم دایرۀ $1$، نیم دایرۀ اصلی ما می باشد. یک نقطه بر روی آن مشخص می کنیم: نقطۀ $(1,0)$.
حالا به سراغ سایر نیم دایره ها می رویم و بر روی هر کدام از آنها نیز یک نقطه مشخص می کنیم، که نقطۀ تصویر $(1,0)$ بر روی نیم دایرۀ $1$ باشد.
نیم دایرۀ $2$: نقطۀ $(9,0)$
نیم دایرۀ $3$: نقطۀ $(-2,4)$
نیم دایرۀ $4$: نقطۀ $(5,3)$

حالا با مقایسۀ نقطۀ $(1,0)$ بر روی نیم دایرۀ $1$ با هر کدام از نقاط از تصویر اشاره شده بر روی سایر نیم دایره ها، انتقال انجام شده را مشخص می سازیم.
$$
A(1,0) \to A'(9,0) \\
(x,y) \to (x+8,y) \\
h=8, k=0
$$
نیم دایرۀ $2$ به میزان $8$ واحد به سمت راست منتقل شده است.
$$
A(1,0) \to A'(-2,4) \\
(x,y) \to (x-3,y+4) \\
h=-3, k=4
$$
نیم دایرۀ $3$ به میزان $3$ واحد به سمت چپ و $4$ واحد به سمت بالا منتقل شده است.
$$
A(1,0) \to A'(5,3) \\
(x,y) \to (x+4,y+3) \\
h=4, k=3
$$
نیم دایرۀ $4$ به میزان $4$ واحد به سمت راست و $3$ واحد به سمت بالا منتقل شده است.
با توجه به اینکه در بخش $\text{a}$ به مقادیر $h$ و $k$ رسیدیم، در اینجا با استفاده از همان مقادیر و شکل کلی $y-k=f(x-h)$ اقدام به نوشتن معادلاتِ توابعِ این نیم دایره ها می کنیم. به ترتیب از نیم دایرۀ $1$ تا $4$ توابع به شرح زیر می باشند:
$$
y=f(x) \\
y=f(x-8) \\
y-4=f(x+3) \\
y-3=f(x-4)
$$