خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
مرتبط ساختن مفاهیم: سری حسابی
در فرآیند مشخص ساختن مجموع اعداد \(1\) تا \(100\)، گاوس اصول اساسی سری حسابی (arithmetic series) را کشف کرد.
\(S_n\) نشان دهندۀ مجموع \(n\) جملۀ اول یک سری می باشد.
در سری \(2+4+6+8+\text{...}\)، نماد \(S_4\) نشان دهندۀ مجموع چهار جملۀ اول می باشد.
شما می توانید از روش گاوس برای استخراج فرمولی جهت مجموع یک سری حسابی عمومی استفاده کنید.
سری حسابی عمومی می تواند به شکل زیر نوشته شود:
$$
t_1 + (t_1+d) + (t_1 + 2d) + \text{ ... } + [t_1+(n-3)d)] + [t_1+(n-2d)] + [t_1+(n-1)d]
$$
در این سری، \(t_1\) اولین جمله، \(n\) تعداد جملات، و \(d\) قدرنسبت می باشد.
از روش گاوس استفاده کنید.
این سری را دوبار بنویسید، یک بار در ترتیب صعودی و بار دیگر در ترتیب نزولی. سپس این دو سری را با یکدیگر جمع بزنید.
$$
\begin{array}{c c c}
S_n =& t_1 + (t_1+d) + \text{ ... } + [t_1+(n-2)d] + [t_1+(n-1)d] & \\[2ex]
S_n =& [t_1+(n-1)d] + [t_1+(n-2)d] + \text{ ... } + (t_1+d) + t_1 & \\[2ex]
\hline
2S_n =& [2t_1+(n-1)d] + [2t_1 + (n-1)d] + \text{ ... } + [2t_1 + (n-1)d] + [2t_1 + (n-1)d] & \\[2ex]
2S_n =& n[2t_1+(n-1)d] & \\[2ex]
S_n= & \frac{n}{2}[2t_1+(n-1)d] &
\end{array}
$$
یک تغییر در این فرمول عمومی می تواند با جایگزینی \(t_n\) از فرمول عمومی دنبالۀ عمومی صورت پذیرد.
$$
S_n = \frac{n}{2}\biggl[ 2t_1 + (n-1)d \biggr]\\
S_n = \frac{n}{2} \biggl[ t_1 + t_1 (n-1)d \biggr]
$$
از آنجا که \(t_n=t_1+(n-1)d\) است، از این رابطه برای تغییر فرمول بالا استفاده می کنیم:
$$
S_n = \frac{n}{2}(t_1 + \color{red}{t_n})
$$
سری حسابی (arithmetic series):
-
مجموعه ای از جملات که یک دنبالۀ حسابی را تشکیل می دهند.
-
در دنبالۀ حسابی \(2,4,6,8\)، سری حسابی آن به شکل \(2+4+6+8\) نشان داده می شود.
\(S_n\) نشان دهندۀ مجموع \(n\) جملۀ اول یک سری می باشد.
در سری \(2+4+6+8+\text{...}\)، نماد \(S_4\) نشان دهندۀ مجموع چهار جملۀ اول می باشد.
شما می توانید از روش گاوس برای استخراج فرمولی جهت مجموع یک سری حسابی عمومی استفاده کنید.
سری حسابی عمومی می تواند به شکل زیر نوشته شود:
$$
t_1 + (t_1+d) + (t_1 + 2d) + \text{ ... } + [t_1+(n-3)d)] + [t_1+(n-2d)] + [t_1+(n-1)d]
$$
در این سری، \(t_1\) اولین جمله، \(n\) تعداد جملات، و \(d\) قدرنسبت می باشد.
از روش گاوس استفاده کنید.
این سری را دوبار بنویسید، یک بار در ترتیب صعودی و بار دیگر در ترتیب نزولی. سپس این دو سری را با یکدیگر جمع بزنید.
$$
\begin{array}{c c c}
S_n =& t_1 + (t_1+d) + \text{ ... } + [t_1+(n-2)d] + [t_1+(n-1)d] & \\[2ex]
S_n =& [t_1+(n-1)d] + [t_1+(n-2)d] + \text{ ... } + (t_1+d) + t_1 & \\[2ex]
\hline
2S_n =& [2t_1+(n-1)d] + [2t_1 + (n-1)d] + \text{ ... } + [2t_1 + (n-1)d] + [2t_1 + (n-1)d] & \\[2ex]
2S_n =& n[2t_1+(n-1)d] & \\[2ex]
S_n= & \frac{n}{2}[2t_1+(n-1)d] &
\end{array}
$$
مجموع یک دنبالۀ حسابی می تواند با استفاده از فرمول زیر تعیین شود:
$$
S_n = \frac{n}{2}\biggl[ 2t_1 + (n-1)d \biggr]
$$
در این فرمول، \(t_1\) جملۀ اول دنباله، \(n\) تعداد جملات، \(d\) قدر نسبت، و \(S_n\) مجموع \(n\) جملۀ اول دنباله می باشد.
$$
S_n = \frac{n}{2}\biggl[ 2t_1 + (n-1)d \biggr]
$$
در این فرمول، \(t_1\) جملۀ اول دنباله، \(n\) تعداد جملات، \(d\) قدر نسبت، و \(S_n\) مجموع \(n\) جملۀ اول دنباله می باشد.
یک تغییر در این فرمول عمومی می تواند با جایگزینی \(t_n\) از فرمول عمومی دنبالۀ عمومی صورت پذیرد.
$$
S_n = \frac{n}{2}\biggl[ 2t_1 + (n-1)d \biggr]\\
S_n = \frac{n}{2} \biggl[ t_1 + t_1 (n-1)d \biggr]
$$
از آنجا که \(t_n=t_1+(n-1)d\) است، از این رابطه برای تغییر فرمول بالا استفاده می کنیم:
$$
S_n = \frac{n}{2}(t_1 + \color{red}{t_n})
$$
مجموع یک دنبالۀ حسابی می تواند با استفاده از فرمول زیر تعیین شود:
$$
S_n=\frac{n}{2}(t_1+t_n)
$$
در این فرمول، \(t_1\) جملۀ اول دنباله، \(n\) تعداد جملات، \(t_n\) جملۀ \(n\)اُم، و \(S_n\) مجموع \(n\) جملۀ اول دنباله می باشد.
$$
S_n=\frac{n}{2}(t_1+t_n)
$$
در این فرمول، \(t_1\) جملۀ اول دنباله، \(n\) تعداد جملات، \(t_n\) جملۀ \(n\)اُم، و \(S_n\) مجموع \(n\) جملۀ اول دنباله می باشد.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: