نویسنده : امیر انصاری

1. مجموع تمامی مضرب های \(4\) از \(1\) تا \(999\) را تعیین کنید.
   
2. جمع مضرب های \(6\) از \(6\) تا \(999\) چقدر می باشد؟
   

پاسخ

1. ابتدا بیایید ببینیم چه مقادیری از مسأله برای ما معلوم است، اولین مضرب \(4\) خودش می باشد، پس \(t_1 = 4\) است، از آنجا که مضرب های \(4\) مدنظر هستند پس \(d=4\) می باشد. حالا می خواهیم بدانیم عدد \(999\) چندمین جملۀ این دنباله است، در واقع قصدمان اینست که \(n\) را بدست آوریم:
   $$
   t_1=4\\
   d=4\\
   t_n=t_1 + (n-1)d\\
   999 = 4 + (n-1)(4)\\
   999 = 4 +4n-4\\
   999=4n\\
   249.75=n
   $$
   به یک عدد اعشاری برای \(n\) رسیدیم، اما می دانیم که منطقاً \(n\) در دنباله ها حتماً باید عددی طبیعی باشد، پس اولین عدد طبیعی کوچکتر از آن یعنی \(249\) را ملاک می گیریم، این دو معنی دارد، اول اینکه \(n=249\) است و دوم اینکه جملۀ آخر دنبالۀ ما \(999\) نیست و باید آن را محاسبه کنیم:
   $$
   t_n=t_1+(n-1)d\\
   t_{249} = 4 + (249-1)(4)\\
   t_{249} = 4 + 992\\
   t_{249} = 996
   $$
   حالا پارامترهای لازم برای محاسبۀ مجموع اعداد این سری را داریم:
   $$
   S_n=\frac{n}{2} + (t_1+t_n)\\
   S_{249} = \frac{249}{2} (4+996)\\
   S_{249} = \frac{249}{2} (1000)\\
   S_{249} = 124,500
   $$
   
2. روش حل کاملاً مشابه \(\text{a}\) می باشد و پاسخ نهایی \(S_{166} = 83166\) می باشد.