گالیله متوجه ارتباطی بین مسافتی که یک شیء در حال سقوط می پیماید با زمان شد. فرض کنید داده ها نشان می دهند که هنگامی که یک شیء از ارتفاع خاصی سقوط می کند به طور تقریبی در ثانیۀ اول \(5 \text{ m}\)، در ثانیۀ دوم \(15 \text{ m}\)، در ثانیه سوم \(25 \text{ m}\)، و در ثانیه چهارم \(35 \text{ m}\) سقوط می کند، و به همین ترتیب ادامه می یابد. فرمول \(d(n)=5n^2\) این مسافت تخمینی را توصیف می کند، در این فرمول \(d\) مسافت طی شدۀ شیء در حال سقوط پس از سپری شدن \(n\) ثانیه می باشد.

1. با استفاده از فرمول عمومی جمع یک سری، فرمولی برای \(d(n)=5n^2\) استخراج کنید.
   
2. با مقدار \(n=100\) به صورت جبری نشان دهید که جمع سری \(5+15+25+ \text{ ...}\) با \(d(n)=5n^2\) برابر است.
   

پاسخ

1. در اینجا مسافتی که شیء در حال سقوط در هر ثانیه می پیماید یک دنباله حسابی را تشکیل می دهد:
   \(5,15,25,35,\text{...}\)
   $$
   t_1 = 5\\
   d= 10\\
   S_n = \frac{n}{2} \biggl[ 2t_1 + (n-1)d \biggr]\\
   S_n = \frac{n}{2} \biggl[ 2(5)+(n-1)(10) \biggr]\\
   S_n = \frac{n}{2} (10+10n-10)\\
   S_n = \frac{n}{2} (10n)\\
   S_n = 5n^2
   $$
   
2. $$
   S_n = \frac{n}{2} \biggl[ 2t_1+(n-1)d \biggr]\\
   S_{100} = \frac{100}{2} \biggl[ 2(5)+(100-1)(10) \biggr]\\
   S_{100} = 50 (10+990)\\
   S_{100} = 50 (1000) \\
   S_{100} = 50,000
   $$
   $$
   d(n)=5n^2\\
   d(100) = 5(100)^2\\
   d(100) = 5(10,000)\\
   d(100) =50,000
   $$