دومین و پنجمین جملۀ یک سری حسابی به ترتیب \(40\) و \(121\) می باشند. مجموع \(25\) جملۀ اول این سری را تعیین کنید.

پاسخ

در اینجا مقادیر \(t_2\) و \(t_5\) برای ما معلوم می باشند، آنچه بدان نیاز داریم تا در فرمول مجموع از آن استفاده کنیم \(t_1\) و \(d\) می باشند. در واقع دو مجهول داریم. برای حل آن از دستگاه معادلات دو مجهولی استفاده می کنیم:
$$
t_n=t_1+(n-1)d\\
t_2 = t_1 + (2-1)d\\
40 = t_1 + d\\
\text{ }\\[2ex]
t_5=t_1+(5-1)d\\
121=t_1 + 4d\\
\text{ }\\[2ex]
\begin{cases}
40 = t_1 + d \\[2ex]
121=t_1 + 4d \\[2ex]
\end{cases}
$$
برای حل کردن این دستگاه معادلات از روش حذف (elimination) استفاده می کنیم:
$$
\begin{array}{c}
-40 = -t_1 - d \\[2ex]
121=t_1 + 4d \\[2ex]
\hline
81 = 3d\\
27=d
\end{array}
$$
با جایگذاری \(d=27\) در یکی از معادلات دستگاه مقدار \(t_1\) را بدست می آوریم:
$$
40=t_1+d\\
40=t_1+27\\
13=t_1
$$
حالا مقادیر لازم برای محاسبۀ مجموع \(25\) جملۀ اول را داریم:
$$
S_n = \frac{n}{2} \biggl[ 2t_1 + (n-1)d \biggr]\\
S_{25} = \frac{25}{2} \biggl[ 2(13)+(25-1)(27) \biggr]\\
S_{25} = \frac{25}{2} ( 26+ 648 )\\
S_{25} = \frac{25}{2} ( 674 )\\
S_{25} = 8425
$$