مجموع پنج جملۀ اول یک سری حسابی \(85\) می باشد. مجموع شش جملۀ اول آن \(123\) می باشد. چهار جملۀ اول این سری چه می باشند؟

پاسخ

برای حل این مسأله از یک دستگاه معادلات خطی دو مجهولی و روش حذف (elimination) استفاده می کنیم:
$$
S_n=\frac{n}{2} \biggl[ 2t_1+(n-1)d \biggr]\\
S_5 = \frac{5}{2} \biggl[ 2t_1+(5-1)d \biggr]\\
85= \frac{5}{2} (2t_1+4d)\\
85=5t_1 + 10d\\
\text{ }\\[2ex]
S_6=\frac{6}{2} \biggl[ 2t_1+(6-1)d \biggr]\\
123 = 3 (2t_1 + 5d)\\
123= 6t_1 + 15d\\
\text{ }\\[2ex]
\begin{cases}
85=5t_1 + 10d\\[2ex]
123= 6t_1 + 15d\\[2ex]
\end{cases}
$$
معادلۀ اول را در \(-6\) و معادلۀ دوم را در \(5\) ضرب می کنیم:
$$
\begin{array}{c}
-510 =-30t_1-60d \\[2ex]
615=30t_1+75d \\[2ex]
\hline
105 = 15d\\
7=d
\end{array}
$$
با جایگذاری \(d=7\) در یکی از دو معادلۀ دستگاه، مقدار \(t_1\) را بدست می آوریم:
$$
85=5t_1 + 10d\\
85=5t_1 + 10(7)\\
85 = 5t_1 + 70\\
15 = 5t_1\\
3=t_1
$$
آنچه مسأله از ما می خواهد \(5\) جملۀ اول این سری می باشد، از آنجا که ما هم \(t_1\) و هم \(d\) را داریم به راحتی این پنج جمله را می نویسیم:
$$
3+10+17+24
$$