تمرین 16: دنبالۀ هندسی، استفادۀ کاربردی

در بازی های زمستانی شمالگان که در "یِلونایف" برگزار شد، "جیسون آناهاتاک" وارد رقابت پرش از روی سورتمۀ روسی شد. فرض کنید جیسون برای آماده شدن جهت این مسابقات، تمریناتش را با پرش از روی $2$ سورتمه در هر روز آغاز کرده باشد و این روند را تا یک هفته ادامه داده باشد، در هفتۀ دوم پرش از روی $4$ سورتمه در روز، در هفتۀ سوم پرش از روی $8$ سورتمه در هر روز، و به همین ترتیب ادامه داده باشد. در طول این رقابت جیسون از روی $142$ سورتمه پرید. فرض کنید که او این الگوی تمرینی اش را ادامه داده باشد، چند هفته طول می کشد تا به رکوردی که در مسابقه ثبت کرد برسد؟

آیا می دانستید؟
پرش از روی سورتمه (Sledge jump) در یک حالت ایستاده آغاز می شود. ورزشکار از روی $10$ سورتمه که در یک ردیف چیده شده اند می پرد، سپس با یک پرش درجایِ چرخشی بر می گردد و دوباره از روی آن $10$ سورتمه می پرد. این فرآیند همینطور تکرار می شود تا زمانی که ورزشکار یک پرش را نتواند انجام دهد، یا اینکه سورتمه ها را لمس کند.

پاسخ

دنبالۀ هندسی تعداد پرش های روزانه به ترتیب از هفتۀ اول تا هفتۀ سوم به شرح زیر است:
$$
2,4,8
$$
حالا از روی این دنباله به حل مسأله می پردازیم:
$$
t_1=2\\
r=\frac{4}{2}=2\\
t_n=142\\
t_n=t_1 r^{n-1}\\
142 = 2 (2)^{n-1}\\
\frac{142}{2} = 2^{n-1}\\
71 = 2^{n-1}
$$
در اینجا می توانیم با استفاده از لگاریتم به سادگی این مسأله را حل کنیم اما از آنجا که هنوز در این دوره به لگاریتم نرسیده ایم و در واقع در دورۀ پیش حسابان $2$ به آن می پردازیم، فعلاً سراغ روش حدس و درست آزمایی می رویم. پاسخ این مسأله $8$ می باشد:
$$
t_7 = 2(2)^{7-1}=2(2)^6=2(64)=128\\
t_8 = 2(2)^{8-1}=2(2)^7=2(128)=256
$$
دقت کنید که در هشتمین هفته رکورد تمرینات جیسون از $142$ عبور می کند اما در هفتۀ قبل آن به $142$ نمی رسد، با این حساب پاسخ صحیح هفتۀ هشتم است.

یادداشت مترجم: اگر برای حل این مسأله از لگاریتم استفاده می کردیم، در آنجا که به $71 = 2^{n-1}$ رسیده بودیم به سادگی می توانستیم لگاریتم $71$ بر مبنای $2$ را بگیریم:
$$
71 = 2^{n-1}\\
\text{ }\\[2ex]
\log_2 71 \approx 6.15\\
2^{6.15}=2^{n-1}\\
6.15=n-1\\
6.15+1=n\\
7.15=n
$$
از آنجا که $n$ الزاماً باید عددی طبیعی باشد اولین عدد طبیعی بعد از $7.15$ یعنی $8$ پاسخ این مسأله است.

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی