تمرین 6: سری هندسی، تمرین

جمع سری $4+12+36+108+\text{...}+t_n$ برابر با $4372$ می باشد. چند جمله در این سری وجود دارد؟

پاسخ

$$
t_1=4\\
r=3\\
S_n=4372\\
S_n=\frac{t_1(r^n - 1)}{r-1}\\
4372 = \frac{4(3^n - 1)}{3-1}\\
4372= 2(3^n - 1)\\
2186 = 3^n -1\\
2187 = 3^n
$$

یادداشت مترجم: در اینجا می توانیم از روش حدس و درست آزمایی برای پیدا کردن اینکه $3$ به توان چه عددی برابر با $2187$ می شود، استفاده کنیم. البته ترجیح شخصی خود بنده استفاده از لگاریتم است. هر چند هنوز در این کتاب به درس لگاریتم نرسیده ایم اما معنای عبارت زیر به زبان ساده این می شود که لگاریتم عدد $2187$ در مبنای $3$ برابر با عدد $7$ می شود، یعنی اگر $3$ به توان $7$ برسد برابر با $2187$ می شود.
$$
\log_3 2187 = 7
$$
نکته: از این به بعد در مسائل این چنینی که با لگاریتم حل می شوند از لگاریتم استفاده خواهیم کرد، و به روش حدس و درست آزمایی اشاره نخواهیم داشت، برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد لگاریتم لینک زیر را ببینید: