هر کدام از موارد زیر یک سری هندسی بی نهایت را نشان می دهد. برای چه مقادیری از \(x\) هر سری همگرا خواهد بود؟

1. $$
   5+5x+5x^2+5x^3+\text{...}
   $$
   
2. $$
   1+\frac{x}{3}+\frac{x^2}{9}+\frac{x^3}{27}+\text{...}
   $$
   
3. $$
   2+4x+8x^2+16x^3+\text{...}
   $$
   

پاسخ

برای حل این مسأله ابتدا از روی سری ها، قدر نسبت را بدست می آوریم و سپس از آنجا که می دانیم در سری های هندسی بی نهایت همگرا، مقدار قدر نسبت باید بین \(-1\) و \(1\) باشد، با کمک نامساویها به پاسخ می رسیم.

1. $$
   r=\frac{5x}{5}=x\\
   -1 \lt r \lt 1\\
   -1 \lt x \lt 1
   $$
   
2. $$
   r=\frac{\frac{x}{3}}{1}=\frac{x}{3}\\
   -1 \lt r \lt 1\\
   -1 \lt \frac{x}{3} \lt 1\\
   3(-1) \lt 3\bigl( \frac{x}{3} \bigr) \lt 3(1)\\
   -3 \lt x \lt 3
   $$
   
3. $$
   r=\frac{4x}{2}=2x\\
   -1 \lt r \lt 1\\
   -1 \lt 2x \lt 1\\
   -\frac{1}{2} \lt x \lt \frac{1}{2}
   $$