جمع \(12\)جملۀ اول یک سری حسابی برابر با \(186\)، و \(20\)امین جملۀ آن برابر با \(83\) می باشد. جمع \(40\) جملۀ اول این سری چه می باشد؟

پاسخ

برای حل این مسأله از یک دستگاه معادلات دو مجهولی استفاده می کنیم.
$$
S_{12}=186\\
t_{20}=83\\
\text{ }\\[2ex]
S_n=\frac{n}{2} \biggl[ 2t_1 + (n-1)d \biggr]\\
S_{12}=\frac{12}{2} \biggl[ 2t_1+(12-1)d \biggr]\\
186 = 6 ( 2t_1+11d )\\
186 = 12 t_1 + 66d\\
\text{ }\\[2ex]
t_n=t_1+(n-1)d\\
t_{20}=t_1+(20-1)d\\
83 = t_1 + 19d\\
$$
$$
\begin{cases}
186=12t_1 + 66d \\[2ex]
83=t_1+19d\\[2ex]
\end{cases}
$$
$$
\begin{array}{c}
186=12t_1+66d \\[2ex]
-996 = -12t_1 -228d \\[2ex]
\hline
-810=-162d\\
\frac{-810}{-162}=d\\
5=d
\end{array}
$$
$$
186=12t_1 + 66d \\
186 = 12t_1 + 66(5)\\
186 = 12t_1 + 330\\
186-330=12t_1\\
-144=12t_1\\
\frac{-144}{12}=t_1\\
-12=t_1
$$
$$
S_n=\frac{n}{2} \biggl[ 2t_1 + (n-1)d \biggr]\\
S_{40}=\frac{40}{2} \biggl[ 2(-12)+(40-1)(5) \biggr]\\
S_{40}=3420
$$