نویسنده : امیر انصاری

1. هنگامی که بازوی نهاییِ یک زاویه در موقعیت استاندارد از نقطۀ \(P(2,4)\) می گذرد، \(\sin \theta\) را تعیین کنید.
   
   
   
2. این بازوی نهایی را ادامه دهید تا شامل نقطۀ \(Q(4,8)\) نیز شود. \(\sin \theta\) را برای زاویه ای در موقعیت استاندارد تعیین کنید که بازوی نهایی آن از نقطۀ \(Q\) عبور می کند.
   
   
   
   
3. این بازوی نهایی را ادامه دهید تا شامل نقطۀ \(R(8,16)\) شود. \(\sin \theta\) را برای زاویه ای در موقعیت استاندارد تعیین کنید که بازوی نهایی آن از نقطۀ \(R\) عبور می کند.
   
4. نتایج بدست آمده در \(\text{a}\)، \(\text{b}\)، و \(\text{c}\) را توضیح دهید. متوجه چه چیزی شدید؟ چرا این اتفاق افتاد؟
   

پاسخ

1. $$
   r=\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\
   \sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}
   $$
   
2. $$
   r=\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\\
   \sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{8}{4\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}
   $$
   
3. $$
   r=\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{64+256}=\sqrt{320}=8\sqrt{5}\\
   \sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{16}{8\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}
   $$
   
4. همگی آنها دارای نسبت های مثلثاتی یکسانی می باشند. این اتفاق به این دلیل می افتد که نقاط \(P\)، \(Q\)، و \(R\) هم راستا (collinear) هستند (یعنی همۀ آنها بر روی یک خط راست قرار گرفته اند). همگی آنها بر روی بازوی نهایی یکسانی قرار دارند.