عقربۀ ساعت شمار و عقربۀ دقیقه شمار یک ساعت، به ترتیب دارای طولهای \(7.5 \text{ cm}\) و \(15.2 \text{ cm}\) می باشند. اگر عقربۀ ساعت شما در هر دقیقه \(0.5^{\circ}\) حرکت کند و عقربۀ دقیقه شمار \(6^{\circ}\) در هر دقیقه حرکت کند، مسافت خط راست بین این دو عقربه را در ساعت \(\text{1:30 pm}\) تعیین کنید.

پاسخ

تصویر زیر این مسأله را به شما نشان می دهد.

ساعت \(\text{1:30}\) است، یعنی عقربۀ ساعت شمار به میزان \(90\) دقیقه سفر کرده است و عقربۀ دقیقه شمار نیز به میزان \(30\) دقیقه سفر کرده است. اگر اینها را به نسبت درجاتی که هر کدام از این عقربه ها در طول هر دقیقه می پیمایند محاسبه کنیم مقادیر زیر را خواهیم داشت:
$$
90 \cdot 0.5^{\circ} = 45^{\circ}\\
30 \cdot 6^{\circ} = 180^{\circ}
$$
عقربۀ دقیقه شمار \(180^{\circ}\) را پیموده است و برای اینکه اندازۀ زاویۀ داخلی \(\triangle{ACB}\) را بدست آوریم، این را از \(45^{\circ}\) ای که عقربۀ ساعت شمار پیموده است، کم می کنیم:
$$
\angle{C} = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}
$$
حالا از قانون کسینوس برای بدست آوردن مقدار \(c\) استفاده می کنیم:
$$
c=\sqrt{a^2+b^2-2ab \cos C}\\
c=\sqrt{15.2^2+7.5^2-2(15.2)(7.5) \cos 135^{\circ}}=21.178...\\
c \approx 21.2 \text{ cm}
$$