نویسنده : امیر انصاری

1. عبارت ساده شده ای برای محیط این مثلث به لحاظ \(x\) و \(y\) بنویسید.
   
2. عبارت ساده شده ای برای مساحت این مثلث به لحاظ \(x\) و \(y\) بنویسید.
   
3. یک دستگاه معادلات بنویسید و ارتباط آن را با این مسئله توضیح دهید.
   
4. این دستگاه را برای بدست آوردن \(x\) و \(y\) حل کنید. ابعاد این مثلث چه می باشند؟
   
5. پاسخ هایتان را درست آزمایی کنید.
   

پاسخ

1. $$
   2x+y+14+5x-1\\
   =7x+y+13
   $$
   
2. $$
   \frac{1}{2}(2x)(5x-1)\\
   =x(5x-1)\\
   =5x^2-x
   $$
   
3. $$
   7x+y+13=60\\
   5x^2 - x = 10y
   $$
   از آنجا که مساحت و محیط مثلث یکسانی را در اختیار داریم، مقادیر \(x\) و \(y\) در هر دو معادله به مقادیر یکسانی اشاره دارند. با حل این دستگاه معادلات، می توانید مقادیر \(x\) و \(y\) و همچنین ابعاد این مثلث را بدست آورید.
   
   
4. پاسخ این دستگاه \((5,12)\) می باشد. البته یک پاسخ دیگر هم دارد که در آن به مقادیر منفی می رسیم. از آنجا که مقادیر \(x\) و \(y\) در ابعاد مثلث به کار رفته اند، و طول هر ضلع مثلث نمی تواند مقداری منفی باشد، پاسخ منفی در اینجا یک پاسخ اضافی و نادرست است.
   با توجه به مشخص بودن مقادیر \(x=5\) و \(y=12\) به سادگی و با جایگذاری این مقادیر در ابعاد مثلث، می توانید اندازۀ اضلاع را بدست آوریم.
   $$
   2x=2(\color{red}{5}) = 10\\
   5x-1 = 5(\color{red}{5})-1=25-1=24\\
   y+14 = \color{red}{12} + 14 = 26
   $$
   ساق های این مثلث \(10\) و \(24\) متر می باشند. وتر آن \(26\) متر می باشد.
   
   
5. جهت درست آزمایی پاسخ ها، می توانیم مساحت و محیط این مثلث را با ابعاد مشخص شده، بدست آوریم.
   درست آزمایی پاسخ ها با فرمول مساحت مثلث:
   $$
   \frac{1}{2}(2x)(5x-1) = 10y\\
   \frac{1}{2}(2(\color{red}{5})) (5(\color{red}{5})-1) = 10(\color{red}{12})\\
   \frac{1}{2}(10)(25-1) = 120\\
   5(24) = 120\\
   120 = 120 \text{ ✔️}
   $$
   درست آزمایی پاسخ ها با فرمول محیط مثلث:
   $$
   2x+5x-1+y+14=60\\
   2(\color{red}{5})+5(\color{red}{5})-1+(\color{red}{12})+14=60\\
   10+25-1+12+14=60\\
   60=60\text{ ✔️}
   $$
   با توجه به قائم الزاویه بودن این مثلث، از قضیۀ فیثاغورث نیز می توانیم برای درست آزمایی پاسخ ها استفاده کنیم. طبق قضیۀ فیثاغورث حاصل جمع مربع دو ساق در مثلث قائم الزاویه، باید با مربع وتر برابر باشد.
   $$
   a^2 + b^2 = c^2\\
   \color{red}{10}^2 + \color{red}{24}^2 = \color{red}{26}^2\\
   100 + 576 = 676\\
   676 = 676 \text{ ✔️}
   $$