یک توپ \(250\) گرمی با سرعت سیر اولیۀ (initial velocity) \(22.36\) متر بر ثانیه به هوا پرتاب می شود. انرژی جنبشی (kinetic energy) این توپ، \(E_k\)، توسط معادلۀ \(E_k = \frac{5}{32}(d-20)^2\) مشخص می شود و انرژی پتانسیل (potential energy) آن، \(E_p\)، با معادلۀ \(E_p = -\frac{5}{32}(d-20)^2 + 62.5\) مشخص می گردد. در این معادله ها، انرژی در واحد ژول \(\text{(J)}\) می باشد و \(d\) مسافت افقی طی شده توسط این توپ در واحد متر می باشد.

1. در چه فاصله ای، میزان انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل این توپ، با یکدیگر یکسان می باشند؟
   
2. در این فاصله، میزان انرژی توپ در واحد ژول چقدر می باشد؟
   
3. پاسخ تان را با ترسیم نمودار درست آزمایی کنید؟
   
4. هنگامی که شیئی به هوا پرتاب می شود، مجموع انرژی مکانیکی (mechanical energy) آن شیء برابر با حاصل جمع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل آن می باشد. بر روی کرۀ زمین، یکی از ویژگی های یک جسم در حرکت اینست که مجموع انرژی مکانیکی آن یک مقدار ثابت است. آیا نمودار این دستگاه، این ویژگی را نشان می دهد؟ توضیح دهید که چگونه می توانید مشاهداتتان را تأیید کنید.
   

پاسخ

1. صورت مسئله از ما می خواهد که فاصله ای را بیابیم که در آن انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل با یکدیگر برابر می باشند. به عبارت دیگر جایی که در آن \(E_k = E_p\) می باشد. پس این دو مقدار را برابر با یکدیگر قرار داده و معادلۀ حاصله را برای بدست آوردن \(d\)حل می کنیم.
   $$
   \frac{5}{32}(d-20)^2 = - \frac{5}{32}(d-20)^2 + 62.5
   $$
   پاسخ های این معادله \(d \approx 34.14\) و \(d \approx 5.86\) می باشند.
   
   
2. برای بدست آوردن میزان انرژی توپ در فاصله های بدست آمده در بخش a، مقدار \(d\) را در معادله های اصلی جایگذاری می کنیم و آنها را برای بدست آوردن \(E\) حل می کنیم.
   $$
   E_k = \frac{5}{32}(\color{red}{34.14}-20)^2\\
   E_k \approx 31.25\\[2ex]
   E_p = -\frac{5}{32}(\color{red}{5.86}-20)^2 + 62.5\\
   E_p \approx 31.25
   $$
   در فاصله های \(5.86\) متری و همچنین \(34.14\) متری، که میزان انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل در آن ها یکسانند، میزان هر کدام از این انرژی ها برابر با \(31.25\) ژول می باشند.
   
   
3. نمودار زیر که به کمک فناوری های کامپیوتری ترسیم شده است، درستی پاسخ های ما را نشان می دهد.
   
   
4. در فاصله های \((d)\) یکسان، مقادیر \(E_k\) و \(E_p\) را بیابید و با یکدیگر جمع بزنید. مشاهده خواهید کرد که حاصل جمع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل در تمامی فاصله های یکسان برابر با \(62.5\) خواهند شد. برای نمونه به نقاط زیر و حاصل جمع آنها دقت کنید.
   در فاصلۀ \(9\) متری:
   $$
   43.59+18.90 \approx 62.5
   $$
   در فاصلۀ \(25\) متری:
   $$
   58.59+3.91 = 62.5
   $$
   نکتۀ دیگری که برای تأیید این نتایج می توانیم از آن بهره ببریم اینست که این دو نمودار حول محور خط \(y=31.25\) متقارن می باشند و بازتابی از یکدیگرند. در نتیجه هر گاه که مقدار \(y\) یکی از آنها افزایش پیدا می کند، مقدار \(y\) نمودار دیگر به میزان متناسبی کاهش پیدا می کند و منجر می شود که حاصل جمع آن دو همواره مقداری ثابت باشد.